자연계열 2번

(1) 직각삼각형 AOM에서 $\displaystyle \sin\alpha=\frac45$이다.

원주각과 중심각의 관계에 의하여 $\displaystyle \angle\mathrm{BPA}=\pi-\alpha$이고,삼각형 PAB에서$\displaystyle \angle\mathrm{ABP}=\pi-(\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{BPA})=\pi-(\pi-\alpha+\theta)=\alpha-\theta$이다.한편, 사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AP}}}{\sin(\angle\mathrm{ABP})}=2\times(\text{외접원의반지름})=10$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=10\sin(\angle\mathrm{ABP})=10\sin(\alpha-\theta)$이다.

(2) 삼각형 PAB의 넓이는 $\displaystyle S(\theta)=\frac12\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin\theta$이므로$\displaystyle S(\theta)=\frac12\times8\times10\sin(\alpha-\theta)\times\sin\theta=40\sin(\alpha-\theta)\times\sin\theta$이다.

여기에서 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$이고, $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\sin(\alpha-\theta)=\sin\alpha=\frac45$이므로$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta}=\lim_{\theta\to0+}40\frac{\sin\theta}{\theta}\sin(\alpha-\theta)=40\cdot1\cdot\frac45=32$이다.

(3) 삼각형 PAO의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}T(\theta)&=\frac12\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin(\angle\mathrm{PAO})\\&=\frac12\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin\left(\frac\pi2-\alpha+\theta\right)\\&=\frac12\times5\times10\sin(\alpha-\theta)\times\cos(\alpha-\theta)\\&=25\sin(\alpha-\theta)\cos(\alpha-\theta)\end{aligned}$이다.

여기에서 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면$\displaystyle T(\theta)=\frac{25}{2}\sin(2(\alpha-\theta))$이다.그리고 $\displaystyle 0<\alpha-\theta<\alpha$이며,$\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \frac\pi4<\alpha<\frac\pi3$인 상수이므로 $\displaystyle (\because\ \frac{\sqrt2}{2}<\sin\alpha=\frac45<\frac{\sqrt3}{2})$$\displaystyle \alpha-\theta=\frac\pi4$일 때, 즉 $\displaystyle 2(\alpha-\theta)=\frac\pi2$일 때, $\displaystyle T(\theta)$는 최댓값을 갖는다.

이때 $\displaystyle \theta=\alpha-\frac\pi4$이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \sin\theta=\sin\left(\alpha-\frac\pi4\right)=\sin\alpha\cos\frac\pi4-\cos\alpha\sin\frac\pi4=\frac45\times\frac{\sqrt2}{2}-\frac35\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{10}$이다.