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자연계열 2번

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성신여대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2027mo/jayeon_2

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중심이 점 O이고 반지름의 길이가 5인 원 위의 두 점 A, B가 AB‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=8을 만족시키고, 점 P가 작은 호 AB 위를 움직인다. ∠PAB=θ\displaystyle \angle\mathrm{PAB}=\theta라 하고, 삼각형 PAB의 넓이를 S(θ)\displaystyle S(\theta), 삼각형 PAO의 넓이를 T(θ)\displaystyle T(\theta)라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 점 P는 점 A와 B가 아니다.) [총 25점]

반지름이 5인 원의 현 AB와 작은 호 위의 점 P

(1) 선분 AB의 중점을 M이라 하고 ∠AOM=α\displaystyle \angle\mathrm{AOM}=\alpha라고 할 때 sin⁡α\displaystyle \sin\alpha의 값을 구하고, 또 선분 AP의 길이를 θ\displaystyle \theta와 α\displaystyle \alpha를 이용하여 나타내시오. [8점]

(2) lim⁡θ→0+S(θ)θ\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta}의 값을 구하시오. [7점]

(3) T(θ)\displaystyle T(\theta)가 최대일 때 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

성신여대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2027mo/jayeon_2

+8점 · (1) ① sin⁡α=45\displaystyle \sin\alpha=\frac45 ② 원주각과 중심각의 관계 ③ ∠ABP=α−θ\displaystyle \angle\mathrm{ABP}=\alpha-\theta ④ 사인법칙 ⑤ AP‾=10sin⁡(α−θ)\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=10\sin(\alpha-\theta)

(1) 직각삼각형 AOM에서 sin⁡α=45\displaystyle \sin\alpha=\frac45이다.

원주각과 중심각의 관계에 의하여 ∠BPA=π−α\displaystyle \angle\mathrm{BPA}=\pi-\alpha이고,삼각형 PAB에서∠ABP=π−(∠PAB+∠BPA)=π−(π−α+θ)=α−θ\displaystyle \angle\mathrm{ABP}=\pi-(\angle\mathrm{PAB}+\angle\mathrm{BPA})=\pi-(\pi-\alpha+\theta)=\alpha-\theta이다.한편, 사인법칙에 의하여AP‾sin⁡(∠ABP)=2×(외접원의반지름)=10\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AP}}}{\sin(\angle\mathrm{ABP})}=2\times(\text{외접원의반지름})=10이므로AP‾=10sin⁡(∠ABP)=10sin⁡(α−θ)\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=10\sin(\angle\mathrm{ABP})=10\sin(\alpha-\theta)이다.

중점 M과 각 α를 표시한 원과 삼각형 PAB
+7점 · (2) ① 삼각형의 넓이 ② S(θ)=40sin⁡(α−θ)×sin⁡θ\displaystyle S(\theta)=40\sin(\alpha-\theta)\times\sin\theta ③ 삼각함수의 극한 ④ 극한값 32

(2) 삼각형 PAB의 넓이는 S(θ)=12AB‾×AP‾×sin⁡θ\displaystyle S(\theta)=\frac12\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin\theta이므로S(θ)=12×8×10sin⁡(α−θ)×sin⁡θ=40sin⁡(α−θ)×sin⁡θ\displaystyle S(\theta)=\frac12\times8\times10\sin(\alpha-\theta)\times\sin\theta=40\sin(\alpha-\theta)\times\sin\theta이다.

여기에서 lim⁡θ→0+sin⁡θθ=1\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}{\theta}=1이고, lim⁡θ→0+sin⁡(α−θ)=sin⁡α=45\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\sin(\alpha-\theta)=\sin\alpha=\frac45이므로lim⁡θ→0+S(θ)θ=lim⁡θ→0+40sin⁡θθsin⁡(α−θ)=40⋅1⋅45=32\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta}=\lim_{\theta\to0+}40\frac{\sin\theta}{\theta}\sin(\alpha-\theta)=40\cdot1\cdot\frac45=32이다.

+10점 · (3) ① 삼각형 PAO의 넓이 ② T(θ)=25sin⁡(α−θ)cos⁡(α−θ)\displaystyle T(\theta)=25\sin(\alpha-\theta)\cos(\alpha-\theta) ③ 덧셈정리 ④ 최댓값 ⑤ sin⁡θ=210\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt2}{10}

(3) 삼각형 PAO의 넓이는T(θ)=12AO‾×AP‾×sin⁡(∠PAO)=12AO‾×AP‾×sin⁡(π2−α+θ)=12×5×10sin⁡(α−θ)×cos⁡(α−θ)=25sin⁡(α−θ)cos⁡(α−θ)\displaystyle \begin{aligned}T(\theta)&=\frac12\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin(\angle\mathrm{PAO})\\&=\frac12\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{AP}}\times\sin\left(\frac\pi2-\alpha+\theta\right)\\&=\frac12\times5\times10\sin(\alpha-\theta)\times\cos(\alpha-\theta)\\&=25\sin(\alpha-\theta)\cos(\alpha-\theta)\end{aligned}이다.

삼각형 PAO와 각 α, θ

여기에서 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면T(θ)=252sin⁡(2(α−θ))\displaystyle T(\theta)=\frac{25}{2}\sin(2(\alpha-\theta))이다.그리고 0<α−θ<α\displaystyle 0<\alpha-\theta<\alpha이며,α\displaystyle \alpha는 π4<α<π3\displaystyle \frac\pi4<\alpha<\frac\pi3인 상수이므로 (∵ 22<sin⁡α=45<32)\displaystyle (\because\ \frac{\sqrt2}{2}<\sin\alpha=\frac45<\frac{\sqrt3}{2})α−θ=π4\displaystyle \alpha-\theta=\frac\pi4일 때, 즉 2(α−θ)=π2\displaystyle 2(\alpha-\theta)=\frac\pi2일 때, T(θ)\displaystyle T(\theta)는 최댓값을 갖는다.

이때 θ=α−π4\displaystyle \theta=\alpha-\frac\pi4이므로 삼각함수의 덧셈정리에 의하여sin⁡θ=sin⁡(α−π4)=sin⁡αcos⁡π4−cos⁡αsin⁡π4=45×22−35×22=210\displaystyle \sin\theta=\sin\left(\alpha-\frac\pi4\right)=\sin\alpha\cos\frac\pi4-\cos\alpha\sin\frac\pi4=\frac45\times\frac{\sqrt2}{2}-\frac35\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{10}이다.

하위 문항등급채점 기준
(1)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(1)2등급①~④단계를 옳게 서술하고 ⑤의 과정에서 오류가 있는 경우
(1)3등급①~④단계까지 계산을 시도했으나 오류가 1개 있는 경우
(1)4등급①~④단계까지 계산을 시도했으나 오류가 2개 이상인 경우
(1)5등급①단계까지만 옳게 제시한 경우
(1)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(1)7등급백지 답안
(2)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 결론이 맞음
(2)2등급④단계까지의 과정 중 계산 실수가 있는 경우
(2)3등급③단계까지만 맞은 경우
(2)4등급②단계까지만 맞은 경우
(2)5등급①단계 또는 ②단계 중 하나만 맞은 경우
(2)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(2)7등급백지 답안
(3)1등급전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(3)2등급①~④단계를 옳게 서술하고 ⑤의 과정에서 오류가 있는 경우
(3)3등급①~④단계까지 계산을 시도했으나 오류가 1개 있는 경우
(3)4등급①~④단계까지 계산을 시도했으나 오류가 2개 이상인 경우
(3)5등급①단계까지만 옳게 제시한 경우
(3)6등급문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(3)7등급백지 답안

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