자연계열 4번

(1) 주어진 조건을 활용하여 넓이 $\displaystyle a_n$을 구하면 $\displaystyle a_n=\int_n^{n+1}\frac1{x+p}dx=\ln\left|\frac{n+1+p}{n+p}\right|$이다.그런데 $\displaystyle p>-1$이므로 $\displaystyle n+p>0$이고 $\displaystyle a_n=\ln\frac{n+1+p}{n+p}$이다.따라서 $\displaystyle e^{a_n}=\frac{n+1+p}{n+p}$이고, 조건 $\displaystyle e^{a_1+a_6}=\frac32$로부터 $\displaystyle \frac{2+p}{1+p}\times\frac{7+p}{6+p}=\frac32$,$\displaystyle (p-2)(p+5)=0$이므로, $\displaystyle p=2$이고 $\displaystyle a_n=\ln\frac{n+3}{n+2}$이다.

(2) $\displaystyle e^{a_n}=\frac{n+3}{n+2}$이므로 $\displaystyle b_n=e^{a_n}-1=\frac1{n+2}$이고 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(k+2)(k+3)}=\sum_{k=1}^n\left\{\frac1{k+2}-\frac1{k+3}\right\}$따라서 $\displaystyle S_n=\frac13-\frac1{n+3}$이다. 그러므로 $\displaystyle q=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac13$이다.

(3) 직선 $\displaystyle l_n$의 방정식은 $\displaystyle y-b_n^3=3b_n^2(x-b_n)$이므로, 정리하면 $\displaystyle y=3b_n^2x-2b_n^3$이다.(2)에서 $\displaystyle b_n=\frac1{n+2}>0$이므로, 곡선 $\displaystyle y=x^3$은 접선 $\displaystyle l_n$보다 위에 위치한다.따라서 $\displaystyle A_n=\int_0^{b_n}(x^3-3b_n^2x+2b_n^3)dx=\frac34b_n^4=\frac34\left(\frac1{n+2}\right)^4$이다.이때 $\displaystyle q-S_n=\frac13-\frac13+\frac1{n+3}=\frac1{n+3}$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{(q-S_n)^4}=\lim_{n\to\infty}\frac34\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^4=\frac34$이다.