자연계열 3번

(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle a+b=0$이고 $\displaystyle (4a+b)-(a+b)=\frac32$이므로$\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle b=-\frac12$이다. 또 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{c\ln e-c\ln1}{e-1}=\frac1{e-1}$이므로 $\displaystyle c=1$이다.

(2) 함수 $\displaystyle h(x)=\frac{x^2-1}{2}-\ln x$는 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $\displaystyle h(x)$의 최솟값을 구하기 위해 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=x-\frac1x$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(1)=0$이고,$\displaystyle h^{\prime\prime}(1)=2>0$이므로(또는 $\displaystyle x<1$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>1$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이므로)함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 최솟값을 갖고 그 값은 $\displaystyle h(1)=0$이다.

(3) (2)의 결과에서 $\displaystyle p=1$이고, $\displaystyle x\ne1$인 양수 $\displaystyle x$에 대해 항상 $\displaystyle f(x)>g(x)$이다. 이때 실수 $\displaystyle t$에 대한 함수 $\displaystyle e^t$는 닫힌구간 $\displaystyle [g(x),f(x)]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (g(x),f(x))$에서 미분가능하다. 따라서 실수 $\displaystyle t$에 대한 함수 $\displaystyle e^t$에 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{e^{f(x)}-e^{g(x)}}{f(x)-g(x)}=e^z$를 만족시키는 실수 $\displaystyle z$가 열린구간 $\displaystyle (g(x),f(x))$에 적어도 하나 존재한다. 이때 $\displaystyle g(x)<z<f(x)$가 성립한다. 그리고 실수 $\displaystyle t$에 대한 함수 $\displaystyle e^t$는 증가함수이므로 $\displaystyle e^{g(x)}<e^z<e^{f(x)}$이다. 따라서 $\displaystyle e^{g(x)}<\frac{e^{f(x)}-e^{g(x)}}{f(x)-g(x)}<e^{f(x)}$이다.$\displaystyle \lim_{x\to1}e^{g(x)}=e^{g(1)}=e^0=1$이고, $\displaystyle \lim_{x\to1}e^{f(x)}=e^{f(1)}=e^0=1$이므로, $\displaystyle \lim_{x\to p}\frac{e^{f(x)}-e^{g(x)}}{f(x)-g(x)}=1$이다.