한국공학대 2018학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 해설

1 [10점] 구간 $\displaystyle [-1,1]$ 에서 정의된 연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다.

(1) 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.(2) 어떤 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle P\left(-\frac12\le X\le\frac12\right)$ 일 때, $\displaystyle p$ 의 값을 구하시오.(3) 이 시행을 $\displaystyle 10$ 번 반복한 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle 1$ 번 이상 일어날 확률을 구하시오.

2 [10점] 세 점 $\displaystyle P(0,1)$ , $\displaystyle A(-1,0)$ , $\displaystyle B(1,0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle APB$ 에서 점 $\displaystyle A$ 를 지나는 직선 $\displaystyle y=\frac1n(x+1)$ ( $\displaystyle n\geqq2$ , 자연수)이 선분 $\displaystyle PB$ 와 만나는 점을 $\displaystyle C_n$ 이라 하고, 점 $\displaystyle C_n$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle D_n$ 이라고 하자.

(1) 삼각형 $\displaystyle AC_nD_n$ 의 외접원의 중심 $\displaystyle (x_n,y_n)$ 을 구하시오.(2) 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$ 과 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}y_n$ 을 구하시오.

3 [15점] 아래 그림과 같이 각 $\displaystyle \angle P$ 가 $\displaystyle 90^\circ$ 인 직각삼각형 $\displaystyle APB$ 내부의 점 $\displaystyle Q_1\left(0,\frac12\right)$ 에서 선분 $\displaystyle PB$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle P_1$ 이라 하고, 점 $\displaystyle P_1$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle Q_2$ , 점 $\displaystyle Q_2$ 에서 선분 $\displaystyle PB$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle P_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $\displaystyle n$ 번째 얻은 삼각형 $\displaystyle P_{n-1}Q_nP_n$ 의 넓이를 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$ 의 합을 구하시오.

4 [15점] 아래 그림과 같이 각 $\displaystyle \angle P$ 가 $\displaystyle 90^\circ$ 인 직각삼각형 $\displaystyle APB$ 에서 변 $\displaystyle AP$ 를 $\displaystyle n$ 등분한 점을 각각 $\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_{n-1}$ 이라 하고 변 $\displaystyle BP$ 를 $\displaystyle n$ 등분한 점을 각각 $\displaystyle B_1,B_2,\cdots,B_{n-1}$ 이라고 할 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\overline{A_kB_k}^2$ 을 구하시오.

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1(1) $\displaystyle f(x)$ 가 연속확률밀도함수이므로 삼각형 넓이가 $\displaystyle \frac12\times2\times a=1$ 이고, $\displaystyle a=1$ 이다.

(2) $\displaystyle P(A)=P\left(-\frac12\le X\le\frac12\right)=2\int_0^{\frac12}(1-x)\,dx=2\Biggl[x-\frac12x^2\Biggr]_0^{\frac12}=2\left[\frac12-\frac1{2^3}\right]=\frac34$

(3) 여사건을 이용하여 구한다.사건 $\displaystyle A$ 가 일어나지 않을 확률이 $\displaystyle 1-\frac34=\frac14$ 이므로, 10번 반복한 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 한 번도 일어나지 않을 확률을 1에서 빼면 구하는 확률은 $\displaystyle 1-{}_{10}\mathrm{C}_0\left(\frac14\right)^{10}=1-\frac1{4^{10}}$ 이다.

2(1) $\displaystyle y=\frac1n(x+1)$ 과 $\displaystyle y=1-x$ 의 교점을 구하면 $\displaystyle \Rightarrow x=\frac{n-1}{n+1},\ y=1-\frac{n-1}{n+1}=\frac2{n+1}$ 이므로 교점 $\displaystyle C_n$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{n-1}{n+1},\frac2{n+1}\right)$ 이다.직감삼각형 $\displaystyle AC_nD_n$ 의 외접원의 중심 $\displaystyle (x_n,y_n)$ 은 빗변 $\displaystyle AC_n$ 의 중점이다.따라서 $\displaystyle (x_n,y_n)=\left(\frac{-1}{n+1},\frac1{n+1}\right)$ 이다.

(2) (1)로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0,\lim_{n\to\infty}y_n=0$ 이다.

3등변이 $\displaystyle a$ , 빗변이 $\displaystyle l$ 인 직각이등변 삼각형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\frac12a^2=\frac14l^2\ (l^2=2a^2)$ 이고, 직각이등변삼각형의 빗변이 $\displaystyle \frac12,\frac34,\frac38,\frac3{16},\cdots$ 이므로 $\displaystyle S_1=\frac14\left(\frac12\right)^2,S_2=\frac14\left(\frac34\right)^2=\frac9{64},S_3=\frac14\left(\frac38\right)^2=\frac14\left(\frac9{64}\right),S_4=\frac14\left(\frac3{16}\right)^2=\frac1{4^2}\left(\frac9{64}\right),\cdots$ 이다. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$ 은 $\displaystyle n\geqq2$ 일 때 초항이 $\displaystyle \frac9{64}$ , 공비가 $\displaystyle \frac14$ 인 무한등비급수이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty S_n&=S_1+\sum_{n=2}^\infty S_n=\frac1{16}+\frac9{64}\left(1+\frac14+\left(\frac14\right)^2+\cdots\right)=\frac1{16}+\frac9{64}\left(\frac1{1-\frac14}\right)\\&=\frac1{16}+\frac3{16}=\frac14\end{aligned}$ 이다.

4 $\displaystyle y=1-x$ 이므로 $\displaystyle \overline{A_kB_k}=2\left(1-\frac kn\right)$ 이다.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n(\overline{A_kB_k})^2&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(2\left(1-\frac kn\right)\right)^2=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n4\left(1-\frac kn\right)^2=4\int_0^1(1-x)^2\,dx\\&=4\Biggl[-\frac13(1-x)^3\Biggr]_0^1=\frac43\end{aligned}$

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자연계열 (오전) 1번

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