자연계열 (오전) 1번

1(1) $\displaystyle f(x)$가 연속확률밀도함수이므로 삼각형 넓이가 $\displaystyle \frac12\times2\times a=1$이고, $\displaystyle a=1$이다.

(2) $\displaystyle P(A)=P\left(-\frac12\le X\le\frac12\right)=2\int_0^{\frac12}(1-x)\,dx=2\Biggl[x-\frac12x^2\Biggr]_0^{\frac12}=2\left[\frac12-\frac1{2^3}\right]=\frac34$

(3) 여사건을 이용하여 구한다.사건$\displaystyle A$가 일어나지 않을 확률이$\displaystyle 1-\frac34=\frac14$이므로, 10번 반복한 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$가 한 번도 일어나지 않을 확률을 1에서 빼면 구하는 확률은 $\displaystyle 1-{}_{10}\mathrm{C}_0\left(\frac14\right)^{10}=1-\frac1{4^{10}}$이다.

2(1) $\displaystyle y=\frac1n(x+1)$과 $\displaystyle y=1-x$의 교점을 구하면$\displaystyle \Rightarrow x=\frac{n-1}{n+1},\ y=1-\frac{n-1}{n+1}=\frac2{n+1}$이므로 교점$\displaystyle C_n$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{n-1}{n+1},\frac2{n+1}\right)$이다.직감삼각형 $\displaystyle AC_nD_n$의 외접원의 중심$\displaystyle (x_n,y_n)$은 빗변$\displaystyle AC_n$의 중점이다.따라서 $\displaystyle (x_n,y_n)=\left(\frac{-1}{n+1},\frac1{n+1}\right)$이다.

(2) (1)로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0,\lim_{n\to\infty}y_n=0$이다.

3등변이 $\displaystyle a$, 빗변이 $\displaystyle l$인 직각이등변 삼각형의 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=\frac12a^2=\frac14l^2\ (l^2=2a^2)$이고, 직각이등변삼각형의 빗변이 $\displaystyle \frac12,\frac34,\frac38,\frac3{16},\cdots$이므로$\displaystyle S_1=\frac14\left(\frac12\right)^2,S_2=\frac14\left(\frac34\right)^2=\frac9{64},S_3=\frac14\left(\frac38\right)^2=\frac14\left(\frac9{64}\right),S_4=\frac14\left(\frac3{16}\right)^2=\frac1{4^2}\left(\frac9{64}\right),\cdots$이다.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$은 $\displaystyle n\geqq2$일 때 초항이 $\displaystyle \frac9{64}$, 공비가 $\displaystyle \frac14$인 무한등비급수이므로$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty S_n&=S_1+\sum_{n=2}^\infty S_n=\frac1{16}+\frac9{64}\left(1+\frac14+\left(\frac14\right)^2+\cdots\right)=\frac1{16}+\frac9{64}\left(\frac1{1-\frac14}\right)\\&=\frac1{16}+\frac3{16}=\frac14\end{aligned}$이다.

4$\displaystyle y=1-x$이므로 $\displaystyle \overline{A_kB_k}=2\left(1-\frac kn\right)$이다.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n(\overline{A_kB_k})^2&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(2\left(1-\frac kn\right)\right)^2=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n4\left(1-\frac kn\right)^2=4\int_0^1(1-x)^2\,dx\\&=4\Biggl[-\frac13(1-x)^3\Biggr]_0^1=\frac43\end{aligned}$