자연계열 (오전) 2번

1(1) $\displaystyle P_k(\alpha,\alpha^2)$, $\displaystyle Q_k(\beta,\beta^2)$라 놓으면(($\displaystyle \alpha<0<\beta$) $\displaystyle \alpha,\beta$는 방정식 $\displaystyle x^2-kx-1=0$의 두 근이다.그러므로 근과 계수의 관계에 의해$\displaystyle \alpha+\beta=k,\ \alpha\beta=-1$$\displaystyle P_k$점의 접선 $\displaystyle y-\alpha^2=2\alpha(x-\alpha)\quad\Rightarrow y=2\alpha x-\alpha^2$$\displaystyle Q_k$점의 접선 $\displaystyle y-\beta^2=2\beta(x-\beta)\quad\Rightarrow y=2\beta x-\beta^2$두 접선의 교점 좌표 구하기$\displaystyle x$좌표$\displaystyle \Rightarrow2\alpha x-\alpha^2=2\beta x-\beta^2\Rightarrow2(\alpha-\beta)x=\alpha^2-\beta^2$그러므로 $\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac k2$$\displaystyle y$좌표$\displaystyle \Rightarrow y=2\alpha x-\alpha^2$에 $\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta}{2}$대입하면$\displaystyle y=2\alpha\frac{(\alpha+\beta)}2-\alpha^2=\alpha\beta=-1$이다.그러므로 교점 좌표는 $\displaystyle R_k$는$\displaystyle \left(\frac k2,-1\right)$이므로

(2) 교점$\displaystyle R_k$는 $\displaystyle k$값과 상관없이 직선 $\displaystyle y=-1$위에 있게 되어 교점 좌표$\displaystyle R_k$는 직선 $\displaystyle y=-1$ 그래프 위에 있다.

2세 점 $\displaystyle P_k(\alpha,\alpha^2)$, $\displaystyle Q_k(\beta,\beta^2)$, $\displaystyle R_k\left(\frac k2,-1\right)$이므로 삼각형$\displaystyle P_kQ_kR_k$의무게중심 좌표$\displaystyle \begin{aligned}&=\left(\frac{\alpha+\beta+\frac k2}3,\frac{\alpha^2+\beta^2+(-1)}3\right)\\&=\left(\frac{k+\frac k2}3,\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta+(-1)}3\right)\\&=\left(\frac{3k}6,\frac{k^2+1}3\right)\\&=\left(\frac k2,\frac{k^2+1}3\right)\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle k=2x$로부터 무게 중심이 놓인 함수는$\displaystyle y=\frac43x^2+\frac13$이다.그러므로 $\displaystyle a=\frac43$, $\displaystyle b=0$, $\displaystyle c=\frac13$이다.

3$\displaystyle y=\frac43x^2+\frac13$과 $\displaystyle y=kx+1$의 두 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a<0<b$라 하자.두 함수를 연립하여 얻는 이차방정식 $\displaystyle 4x^2-3kx-2=0$의 근과 계수 관계에 의해 $\displaystyle a+b=\frac{3k}4$, $\displaystyle ab=-\frac12$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{A_kB_k}&=\sqrt{(b-a)^2+(b^2-a^2)^2}\\&=\sqrt{(b-a)^2(1+(b+a)^2)}\\&=(b-a)\sqrt{(1+(b+a)^2)}\end{aligned}$Correction. (3)의 $\displaystyle \overline{A_kB_k}$ 계산에서 $\displaystyle (b^2-a^2)^2$에는 계수 $\displaystyle \frac{16}{9}$가 빠져 있다. 이어지는 $\displaystyle 1+(b+a)^2$도 $\displaystyle 1+\frac{16}{9}(b+a)^2$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \Leftarrow b-a=\sqrt{(a+b)^2-4ab}=\sqrt{\left(\frac{3k}4\right)^2-4\left(-\frac12\right)}$$\displaystyle \begin{aligned}&=\sqrt{\left(\frac{3k}4\right)^2-4\left(-\frac12\right)}\sqrt{1+k^2}\\&=\sqrt{\frac{9k^2}{16}+2}\sqrt{1+k^2}\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\overline{P_kQ_k}&=\sqrt{(\beta-\alpha)^2+(\beta^2-\alpha^2)^2}=\sqrt{(\beta-\alpha)^2(1+(\beta+\alpha)^2)}\\&=\sqrt{((\beta+\alpha)^2-4\alpha\beta)^2(1+(\beta+\alpha)^2)}\\&=\sqrt{(k^2+4)(k^2+1)}\end{aligned}$Correction. (3)의 $\displaystyle \overline{P_kQ_k}$ 계산에서 $\displaystyle ((\beta+\alpha)^2-4\alpha\beta)^2$의 바깥 제곱은 없어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\overline{A_kB_k}}{\overline{P_kQ_k}}=\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{9k^2}{16}+2}\sqrt{1+k^2}}{\sqrt{k^2+4}\sqrt{1+k^2}}=\frac34$이다.

43번 답안에서 $\displaystyle \overline{P_kQ_k}=\sqrt{(k^2+4)(k^2+1)}$이고직선 $\displaystyle kx-y+1=0$과 점 $\displaystyle \left(\frac k2,-1\right)$사이 거리 공식에 의해밑변$\displaystyle P_kQ_k$와 점 $\displaystyle R_k$사이 거리$\displaystyle =\frac{\left|k\left(\frac k2\right)+1+1\right|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{k^2+2}{2\sqrt{k^2+1}}$Correction. (4)의 거리식과 넓이식에서 $\displaystyle k^2+2$는 $\displaystyle k^2+4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.삼각형$\displaystyle P_kQ_kR_k$ 넓이$\displaystyle =\frac12\overline{P_kQ_k}\times$(밑변$\displaystyle P_kQ_k$와 점 $\displaystyle R_k$사이 거리)$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12\sqrt{(k^2+4)(k^2+1)}\frac{k^2+2}{2\sqrt{k^2+1}}\\&=\frac14\sqrt{k^2+4}(k^2+2)=g(k)\end{aligned}$극한값 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{g(k)}{k^3}=\lim_{k\to\infty}\frac{(k^2+2)\sqrt{k^2+4}}{4k^3}=\frac14$이다.