자연계열 (오후) 2번

1$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0+}\frac{h^2+\frac12h-\frac12-\left(-\frac12\right)}h=\frac12.$$\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0-}\frac{h^2-\frac12h-\frac12-\left(-\frac12\right)}h=-\frac12.$그러므로 $\displaystyle x=0$에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h$는 존재하지 않는다.그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분불가능하다.

2(1) $\displaystyle g(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=g(x)$이다.

(2) $\displaystyle h(-x)=\int_0^{-x}\left(t^2+\frac12+g(t)\right)\,dt=-\int_{-x}^0\left(t^2+\frac12+g(t)\right)\,dt$피적분 함수 $\displaystyle t^2+\frac12+g(t)$가 $\displaystyle y$축에 대해 대칭이므로 구간 $\displaystyle [-x,0]$에서의 적분 값은 구간 $\displaystyle [0,x]$에서의 적분 값과 같다. 그러므로$\displaystyle \int_{-x}^0\left(t^2+\frac12+g(t)\right)\,dt=\int_0^x\left(t^2+\frac12+g(t)\right)\,dt$이고$\displaystyle h(-x)=-\int_0^x\left(t^2+\frac12+g(t)\right)\,dt=-h(x)$가 성립한다.

3부등식 $\displaystyle \left(y-f(x)+\frac12\right)\left(y-g(x)+\frac12\right)<0$은 다음 두 경우로 나누어진다.(i) $\displaystyle y-f(x)+\frac12>0$ 이고 $\displaystyle y-g(x)+\frac12<0$(ii) $\displaystyle y-f(x)+\frac12<0$ 이고 $\displaystyle y-g(x)+\frac12>0$$\displaystyle y=f(x)-\frac12$과 $\displaystyle y=g(x)-\frac12$의 그래프는 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프를 각각 $\displaystyle y$축의 음의 방향으로 $\displaystyle \frac12$평행 이동한 것과 같다.경우 (i)을 만족하는 영역은 오른쪽 그림(경계 제외)과 같고 경우 (ii)만족하는 영역은 공집합이므로 두 경우 (i), (ii)에 의해 구하는 영역 $\displaystyle A$는 오른쪽 그림(경계 제외)과 같다.영역 $\displaystyle A$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned}&=4\int_0^{\frac12}-x^2-\frac12x+\frac12\,dx\\&=4\Biggl[-\frac13x^3-\frac14x^2+\frac12x\Biggr]_0^{\frac12}=\frac7{12}\end{aligned}$구하는 영역 $\displaystyle A$의 넓이는 $\displaystyle \frac7{12}$이다.

4(i) 곡선$\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=5x+k$가 접하는 경우의 접점은 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x+\frac12=5$로부터 $\displaystyle x=\frac94$이고 $\displaystyle y=f\left(\frac94\right)=\frac{91}{16}$이다.그러므로 접점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac94,\frac{91}{16}\right)$이고 이를 $\displaystyle y=5x+k$에 대입하면 $\displaystyle k=-\frac{89}{16}$이다.오른쪽 그림에 의해 함수 $\displaystyle I(k)$는$\displaystyle I(k)=\begin{cases}0,&k<-\frac{89}{16}\\1,&k=-\frac{89}{16}\\2,&k>-\frac{89}{16}\end{cases}$이다.

(ii) 곡선$\displaystyle y=f(x)+g(x)$의 직선 $\displaystyle y=5x+k$가 접하는 경우 $\displaystyle (f(x)+g(x))^{\prime}=(2x^2+x-1)^{\prime}=5$로부터 $\displaystyle x=1$이고 $\displaystyle f(1)+g(1)=2$이므로 접점의 좌표는 $\displaystyle (1,2)$이다. $\displaystyle (1,2)$를 $\displaystyle y=5x+k$에 대입하면 $\displaystyle k=-3$이다.그러므로 오른쪽 그림에 의해 함수 $\displaystyle I(k)$는Correction. (ii)에서 ‘함수 $\displaystyle I(k)$는’의 $\displaystyle I(k)$는 $\displaystyle J(k)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle J(k)=\begin{cases}0,&k<-3\\1,&k=-3\\2,&k>-3\end{cases}$이다.

(i)과 (ii)에 의해 $\displaystyle \int_{-2}^2I(k)J(k)\,dk=\int_{-2}^24\,dk=16$이다.