자연계열 (오후) 1번

1다항함수 $\displaystyle ax^3-f(x)$가 삼차 이상인 다항함수이면 조건 (가)의 극한은 발산한다.$\displaystyle ax^3-f(x)$가 일차함수 또는 상수함수이면 조건 (가)의 극한은 $\displaystyle 0$으로 수렴한다. 그러나 $\displaystyle b\ne0$이므로 이 경우 조건 (가)를 만족하지 않는다.따라서 $\displaystyle ax^3-f(x)=mx^2+nx+d$ 또는 $\displaystyle f(x)=ax^3+mx^2+nx+d$인 삼차함수가 된다.(여기서 $\displaystyle m,n,d$는 임의 상수)이 경우, 조건 (가)에 의해$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{ax^3-f(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-mx^2-nx-d}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(-m-\frac nx-\frac d{x^2}\right)=-m=3b$이므로 $\displaystyle f(x)=ax^3-3bx^2+nx+d$이다.$\displaystyle d\ne0$이면 조건 (나)의 극한은$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\frac{ax^3-3bx^2+nx+d}x=\lim_{x\to0}\left(ax^2-3bx+n+\frac dx\right)$이 되어 발산하므로 $\displaystyle d=0$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(x)=ax^3-3bx^2+nx$이다. 이제 조건 (나)에 의해$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\frac{ax^3-3bx^2+nx}x=\lim_{x\to0}(ax^2-3bx+n)=n=6-3a$이므로 $\displaystyle n=6-3a$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=ax^3-3bx^2+(6-3a)x$이다.

2먼저 $\displaystyle f(x)=ax^3-3bx^2+(6-3a)x$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2-6bx+6-3a$이다.삼차함수 $\displaystyle f(x)$가 극값을 갖지 않을 때 이 삼차곡선은 항상 증가하거나 항상 감소한다. 함수의 증가 감소와 도함수의 부호의 관계로부터 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이거나, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$이어야 한다. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$ 또는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$임은 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2-6bx+6-3a=0$가 중근 또는 허근을 갖는다는 점과 서로 동치이므로, $\displaystyle f(x)$가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 $\displaystyle 3ax^2-6bx+6-3a=0$의 판별식은 $\displaystyle D\le0$이어야 한다.$\displaystyle D=(-6b)^2-4(3a)(6-3a)\le0$즉, $\displaystyle b^2+a^2-2a\le0$이어야 한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$가 극값을 가지지 않을 실수 $\displaystyle a,b$ 사이의 관계식은 $\displaystyle b^2+a^2-2a\le0$이다. (단 전제조건인 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$는 $\displaystyle 0$이 아닌 실수라는 것은 답안 작성에서 생략가능하다)

32번에서 구한 $\displaystyle a,b$에 대한 관계식 $\displaystyle b^2+a^2-2a\le0$는 $\displaystyle (a-1)^2+b^2\le1$와 같으므로, 이 관계식은 $\displaystyle ab$-좌표계에서 중심이 $\displaystyle (1,0)$이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원의 경계와 내부로 이루어진 영역이다.$\displaystyle m=\frac{b+2}{a+2}$라고 하면 $\displaystyle b=m(a+2)-2$로 $\displaystyle ab$-좌표계에서 점 $\displaystyle (-2,-2)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle m$인 직선이다. 아래 그림과 같이 직선 $\displaystyle m=\frac{b+2}{a+2}$이 원 $\displaystyle (a-1)^2+b^2=1$과 접하는 경우에 영역과 만나는 이 직선의 기울기 $\displaystyle m$이 최대 또는 최소가 된다.

직선이 원과 접할 때, 원의 중심에서 이 직선까지의 거리는 원의 반지름의 길이와 같아진다.점 $\displaystyle (1,0)$과 직선 $\displaystyle ma-b+2m-2=0$ 사이의 거리는 (점과 직선 사이의 거리 공식)$\displaystyle \frac{|m+2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=1\ \Leftrightarrow\ (3m-2)^2=m^2+1\ \Leftrightarrow\ 8m^2-12m+3=0$이다.

$\displaystyle m$에 대한 이차방정식 $\displaystyle 8m^2-12m+3=0$의 두 실근의 합이 구하려는 최댓값과 최솟값의 합이 된다. 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 구하려는 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle \frac{12}8=\frac32$이다.

4$\displaystyle m=\frac{b+n}{a+n}$이라 하면 $\displaystyle b=m(a+n)-n$으로 $\displaystyle ab$좌표계에서 점 $\displaystyle (-n,-n)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle m$인 직선이다. 이 직선이 원 $\displaystyle (a-1)^2+b^2=1$에 접할 때 기울기 $\displaystyle m$이 최대 또는 최소가 된다.직선이 원과 접할 때, 원의 중심에서 이 직선까지의 거리는 원의 반지름의 길이와 같아진다. 점 $\displaystyle (1,0)$과 직선 $\displaystyle ma-b+nm-n=0$사이의 거리는 (점과 직선 사이의 거리 공식)$\displaystyle d=\frac{|m+nm-n|}{\sqrt{m^2+1}}=1\Leftrightarrow(m+nm-n)^2=m^2+1\Leftrightarrow(n^2-2n)m^2-2(n^2+n)m+n^2-1=0$Correction. 이차방정식의 계수와 $\displaystyle A_n$ 및 극한식의 분모에 적힌 $\displaystyle n^2-2n$은 $\displaystyle n^2+2n$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. $\displaystyle m$에 대한 이차방정식 $\displaystyle (n^2-2n)m^2-2(n^2+n)m+n^2-1=0$의 두 실근의 합이 $\displaystyle \frac{b+n}{a+n}$의 최댓값과 최솟값의 합이 된다. 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle \frac{b+n}{a+n}$의 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle A_n=\frac{2(n^2+n)}{n^2-2n}$이다. 이 때, 극한은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n^2+n)}{n^2-2n}=2$이다.