의예과 2번

그림을 이용하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{k}$ 과 $\displaystyle \int_1^{2014}\frac{1}{x}\,dx$ 의 크기를 비교하면

$\displaystyle \int_1^{2014}\frac{1}{x}\,dx<\sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{k}<\int_1^{2014}\frac{1}{x}\,dx+1$

을 얻는다.

$\displaystyle 6=\log_3 3^6<\log_3 2014<\ln2014<\log_2 2014<\log_2 2^{11}=11$

으로부터 $\displaystyle 6<\sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{k}<12$ 을 얻고 그러므로 $\displaystyle \alpha=2$이다.

다음, $\displaystyle \sin^2x$ 의 주기가 $\displaystyle \pi$ 임을 상기하면

$\displaystyle \begin{aligned}\sin^2\left(\pi\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}\right)&=\sin^2\left(\pi\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}-\pi n^{1007}\right)\\&=\sin^2\left(\pi\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}\right)\end{aligned}$

을 얻는다.

I) $\displaystyle n=2k,$($\displaystyle k$ 는 자연수) 인 경우, 다시 주기성을 이용하면

$\displaystyle \sin^2\left(\pi\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}\right)=\sin^2\left(\pi\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}-\pi\frac{n^5}{2}\right)$

이다. $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle a_n=\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}-\frac{n^5}{2}\to0$ 과 위 식을 이용하면

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\sin^2\left(\pi\sqrt{(2k)^{2014}+(2k)^{1012}+1}\right)=0$

이다.

II) $\displaystyle n=2k-1,$($\displaystyle k$ 는 자연수) 인 경우, 주기성을 이용하면

$\displaystyle \sin^2\left(\pi\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}\right)=\sin^2\left(\pi\frac{n^{1012}+1}{\sqrt{n^{2014}+n^{1012}+1}+n^{1007}}-\pi\frac{n^5}{2}+\pi\frac{1}{2}\right)$

이다. $\displaystyle n\to\infty$일 때 $\displaystyle a_n\to0$ 과 위 식을 이용하면

$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\sin^2\left(\pi\sqrt{(2k-1)^{2014}+(2k-1)^{1012}+1}\right)=1$

이다. 그러므로 발산한다.