의예과 4번

조건 I 에 의해 $\displaystyle f$가 연속인 일대일 대응이므로 증가함수이거나 감소함수이다. $\displaystyle f$가 증가함수라고 하자. 어떤 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)\ne x$라고 하면 $\displaystyle f(x)<x$ 또는 $\displaystyle f(x)>x$ 이다. $\displaystyle f(x)<x$이면 $\displaystyle x=f(f(x))<f(x)$ 이므로 모순이다. 또 $\displaystyle f(x)>x$이면 $\displaystyle x=f(f(x))>f(x)$ 이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=x$이다. 이 경우에도

$\displaystyle \int_{-x}^0 f(t)dt-\int_0^{x^2}f(t)dt=\int_{-x}^0 tdt-\int_0^{x^2}tdt=-x^2/2-x^4/2\ne x^3(x>0)$

으로 모순이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이고 그 그래프는 조건 I에 의해 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭이다.

$\displaystyle \int_{-x}^0 f(t)dt-\int_0^{x^2}f(t)dt=x^3,\ x>0$

의 양 변을 $\displaystyle x$에 관해 미분하면 $\displaystyle f(-x)-2xf(x^2)=3x^2$이고 따라서 $\displaystyle f(0)=0$이다.

$\displaystyle -\int_0^{a^2}f(x)dx$는 $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle x=a^2$ 그리고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 면적이다. 또 그래프가 $\displaystyle y=x$에 대칭이므로 $\displaystyle -\int_0^{a^2}f(x)dx$는 $\displaystyle y$축과 직선 $\displaystyle y=a^2$ 그리고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 면적과 같다. 그러므로 $\displaystyle -\int_0^{a^2}f(x)dx=\int_{-b}^{0}(a^2-f(x))dx,\ (f(-b)=a^2)$. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}a^3&=\int_{-a}^0 f(x)dx-\int_0^{a^2}f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_{-b}^0(a^2-f(x))dx\\&=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_{-b}^{-a}(a^2-f(x))dx+\int_{-a}^{0}(a^2-f(x))dx\\&=a^3+\int_{-b}^{-a}(a^2-f(x))dx\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle \int_{-b}^{-a}(a^2-f(x))dx=0$이다. $\displaystyle b>a$이면 $\displaystyle -b<x<-a$인 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle a^2-f(x)>0$이므로 $\displaystyle \int_{-b}^{-a}(a^2-f(x))dx>0$이다. 또 $\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle -a<x<-b$인 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle a^2-f(x)<0$이므로 $\displaystyle \int_{-b}^{-a}(a^2-f(x))dx>0$이다. 그러므로 $\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle f(-a)=a^2$이다. 결론적으로Correction. 대학 답안의 두 번째 경우에 적힌 $\displaystyle a<b$는 $\displaystyle a>b$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2&,\ x\le0\\-\sqrt{x}&,\ x\ge0\end{cases}$

이다.