의예과 3번

(1) 양변을 적절하게 변형하면 $\displaystyle \frac{1}{q_{n+1}}=\frac{2}{q_n}+\frac{1}{q_{n-1}}$을 얻게 되고 양변에 $\displaystyle q_n$을 곱한 후 $\displaystyle a_n=\frac{q_{n+1}}{q_n}$이라 두면 우리는 $\displaystyle \frac{1}{a_n}=2+a_{n-1}$을 얻게 된다. 이제 $\displaystyle \frac{1}{\lambda}=2+\lambda$ 을 만족하는 양수 $\displaystyle \lambda=-1+\sqrt{2}$ 를 잡고 두 식을 빼면 $\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{1}{\lambda}=a_{n-1}-\lambda$ 를 얻게 되고 $\displaystyle \frac{1}{a_n}>2$ 이므로 $\displaystyle |a_n-\lambda|\le|a_n\lambda||a_{n-1}-\lambda|<\lambda|a_{n-1}-\lambda|$ 를 얻게 된다. 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle |a_n-\lambda|<\lambda^n|a_0-\lambda|$ 이고, $\displaystyle \lambda<1$ 이므로 극한정리로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lambda$ 가 얻어진다.

(2) 문제 (1)에 의해 $\displaystyle q_n>q_{n+1}$ 이고 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}q_n$은 수렴한다. 실제로 $\displaystyle \frac{1}{q_{n+1}}>\frac{2}{q_n}$이므로 $\displaystyle q_{n+1}<\frac{1}{2}q_n$임을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}q_n<\frac{\pi}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{\pi}{4}$을 얻게 되고 임의의 자연수 $\displaystyle N$에 대하여 $\displaystyle \tan\left(\sum_{n=0}^{N}q_n\right)$은 항상 1을 넘지 않는 양수임을 알 수 있다. 이 사실과 $\displaystyle \tan$의 합 공식 $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$을 이용하여 수학적 귀납법을 쓰면 임의의 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{m}\tan(q_n)\le\tan\left(\sum_{n=0}^{m}q_n\right)$가 성립함을 알 수 있다. $\displaystyle m$번째 반사된 공의 높이는 $\displaystyle \tan\left(\sum_{n=0}^{m}q_n\right)$을 넘지 않는데 $\displaystyle \tan\left(\sum_{n=0}^{m}q_n\right)<\tan\left(\sum_{n=0}^{\infty}q_n\right)$ 이므로 위 식을 이용하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\tan(q_n)\le\tan\left(\sum_{n=0}^{\infty}q_n\right)\le\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$이 됨을 알 수 있다.