의예과 1번

울산대 2019학년도 수시 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2019su/uiye_1

【문제 1】 다음 물음에 답하시오. [50점]

(1) $\displaystyle 1\le r\le n$ 일 때, $\displaystyle {}_r\mathrm{C}_r+{}_{r+1}\mathrm{C}_r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ 이 성립함을 보이시오.

(2) $\displaystyle (1+x+y+z+w)^{10}$ 의 전개식에서 항 $\displaystyle x^py^qz^rw^s$ 의 차수를 $\displaystyle p+q+r+s$ 로 정의하자. 항 $\displaystyle x^py^qz^rw^s$ 의 차수가 10 미만인 모든 순서쌍 $\displaystyle (p,q,r,s)$ 의 개수를 구하시오.

해설강의 준비중

울산대 2019학년도 수시 의예과 1번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2019su/uiye_1

+10점 ·

\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r+{}_n\mathrm{C}_{r+1}={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}

을 이용한다.

(1) $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_r$ 이므로

+10점 ·

\displaystyle \sum_{k=r}^{n}{}_k\mathrm{C}_r

이

\displaystyle {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}

임을 보인다.

$\displaystyle \sum_{k=r}^{n}{}_k\mathrm{C}_r={}_r\mathrm{C}_r+\sum_{k=r+1}^{n}({}_{k+1}\mathrm{C}_{r+1}-{}_k\mathrm{C}_{r+1})={}_r\mathrm{C}_r+{}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}-{}_{r+1}\mathrm{C}_{r+1}={}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ .

+10점 ·

\displaystyle p+q+r+s=k

를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수는

\displaystyle {}_4\mathrm{H}_k

임을 안다.

(2) $\displaystyle (1+x+y+w+z)^{10}$ 의 전개식에서 서로 다른 문자가 4개이며 중복을 허용하여 이중 $\displaystyle k$ 를 택할 경우 방정식 $\displaystyle p+q+r+s=k$ 를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

+5점 · 구하려고 하는 모든 경우의 수가

\displaystyle p+q+r+s=k,k=0,1,\cdots,9

을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수의 합임을 제시한다.

+5점 ·

\displaystyle {}_4\mathrm{H}_k={}_{4+k-1}\mathrm{C}_k={}_{3+k}\mathrm{C}_3

임을 안다.

+5점 · 구하려는 문제의 답이

\displaystyle \sum_{k=0}^{9}{}_{k+3}\mathrm{C}_3

임을 보인다.

+5점 · 1-1의 결과를 이용하여

\displaystyle \sum_{k=0}^{9}{}_{k+3}\mathrm{C}_3={}_{13}\mathrm{C}_4=715

임을 보인다.

그러므로 $\displaystyle {}_4\mathrm{H}_k={}_{4+k-1}\mathrm{C}_k$ 이다. 이제 부등식 $\displaystyle p+q+r+s<10$ 을 만족시키는 경우는 $\displaystyle p+q+r+s=k,\ k=0,1,\cdots,9$ 에 해당하므로, $\displaystyle \sum_{k=0}^{9}({}_{3+k}\mathrm{C}_k)=\sum_{k=0}^{9}({}_{3+k}\mathrm{C}_3)={}_{13}\mathrm{C}_4=715$ .

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.