+10점 · nCr+nCr+1=n+1Cr+1을 이용한다. +10점 · k=r∑nkCr이 n+1Cr+1 임을 보인다.(1) n−1Cr−1+n−1Cr=nCr이므로k=r∑nkCr=rCr+k=r+1∑n(k+1Cr+1−kCr+1)=rCr+n+1Cr+1−r+1Cr+1=n+1Cr+1.
+10점 · p+q+r+s=k를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수는 4Hk임을 안다. +5점 · 구하려고 하는 모든 경우의 수가 p+q+r+s=k,k=0,1,⋯,9을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수의 합임을 제시한다. +5점 · 4Hk=4+k−1Ck=3+kC3임을 안다. +5점 · 구하려는 문제의 답이 k=0∑9k+3C3 임을 보인다. +5점 · 1-1의 결과를 이용하여 k=0∑9k+3C3=13C4=715 임을 보인다.(2) (1+x+y+w+z)10의 전개식에서 서로 다른 문자가 4개이며 중복을 허용하여 이중 k를 택할 경우 방정식 p+q+r+s=k를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 그러므로 4Hk=4+k−1Ck이다. 이제 부등식 p+q+r+s<10을 만족시키는 경우는 p+q+r+s=k, k=0,1,⋯,9에 해당하므로, k=0∑9(3+kCk)=k=0∑9(3+kC3)=13C4=715.
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.