의예과 3번

주어진 조건을 만족하는 평면은 원점을 지나지 않음으로 평면 $\displaystyle ax+by+cz+1=0$가 주어진 조건을 만족한다고 할 수 있다.

그러면 $\displaystyle d_1=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},d_2=\frac{|a+b+1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},d_3=\frac{|a+c+1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\displaystyle d_4=\frac{|b+c+1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

인데 $\displaystyle d_1:d_2:d_3:d_4=1:1:2:2$이므로

$\displaystyle 1:|a+b+1|:|a+c+1|:|b+c+1|=1:1:2:2$이다. 따라서 $\displaystyle a+b+1=\pm1,a+c+1=\pm2,b+c+1=\pm2$이다. 전체적으로 8가지 경우이고 계산을 통해 주어진 조건을 만족하는 평면은

$\displaystyle z+1=0,-3z+1=0,2x-2y-z+1=0,$

$\displaystyle -2x+2y-z+1=0,x-3y+1=0,-x-y+2z+1=0,$

$\displaystyle x+y+2z-1=0,-3x+y+1=0$

임을 확인 할 수 있다. 그러므로 최솟값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}$이고 최댓값은 1이다.