의예과 2번

문제2 (1) 답안

$\displaystyle f(x)$에 대해 다음 가),나) 그리고 다)가 성립함을 보일 수 있다.

가) 임의의 정수 $\displaystyle n$과 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x+\frac{2}{3}n)=f(x)+\frac{2}{3}n$이다.

나) $\displaystyle x<0\Rightarrow f(x)<0$

다) $\displaystyle x\ge4/3\Rightarrow f(x)\ge2/3$

임의의 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f\left(x+\frac{2}{3}\right)=f(x)+\frac{2}{3}$으로부터 가)임을 알 수 있다.

$\displaystyle x<0$이면 적당한 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle n<-\frac{3x}{2}\le n+1$ 을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle -\frac{2}{3}(n+1)\le x<-\frac{2}{3}n\ (n\ge0)$ 이고 따라서 $\displaystyle 0\le x+\frac{2}{3}(n+1)<\frac{2}{3}$이고 $\displaystyle \left[0,\frac{2}{3}\right)$에서 $\displaystyle f(x)<\frac{2}{3}$이므로 가)를 쓰면 $\displaystyle f\left(x+\frac{2}{3}(n+1)\right)=f(x)+\frac{2}{3}(n+1)<\frac{2}{3}$ 이므로 $\displaystyle f(x)<-\frac{2}{3}n\le0$이고 나)임을 안다.

$\displaystyle x\ge4/3$이면 적당한 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle n\le\frac{3}{2}\left(x-\frac{4}{3}\right)<n+1$을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle \frac{2(n+2)}{3}\le x<\frac{2(n+3)}{3}$ 또는 $\displaystyle 0\le x-\frac{2(n+2)}{3}<\frac{2}{3}$인 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$이 있다.

그런데 $\displaystyle \left[0,\frac{2}{3}\right)$에서 $\displaystyle f(x)\ge-\frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle f\left(x-\frac{2(n+2)}{3}\right)\ge-\frac{2}{3}$이고 $\displaystyle f(x)\ge\frac{2n}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}$이므로 다)임을 알 수 있다.

$\displaystyle 0\le c<\frac{2}{3}$에 대해 $\displaystyle f(x)=c$인 $\displaystyle x$는 가) 와 나) 에 의해 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{4}{3}\right)$에 속한다.

$\displaystyle \left[0,\frac{4}{3}\right)$에서의 $\displaystyle f$는 다음과 같다.

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-2x&,\ 0\le x<\frac{1}{3}\\4x-2&,\ \frac{1}{3}\le x<\frac{2}{3}\\-2x+2&,\ \frac{2}{3}\le x<1\\4x-4&,\ 1\le x<\frac{4}{3}\end{cases}$

$\displaystyle f(x)=0$이면 $\displaystyle x=0,\frac{1}{2},1$이고 $\displaystyle 0<c<\frac{2}{3}$이고 $\displaystyle f(x)=c$라면 $\displaystyle x=\frac{2+c}{4},\frac{2-c}{2},\frac{4+c}{4}$이고 이들은 서로 다르다. 그러므로 $\displaystyle 0\le c<\frac{2}{3}$에 대해 $\displaystyle f(x)=c$를 만족하는 실수 $\displaystyle x$는 단 세 개뿐이다.

임의의 실수 $\displaystyle c$에 대해서는 정수 $\displaystyle n$이 있어서 $\displaystyle \frac{2}{3}n\le c<\frac{2(n+1)}{3}$이므로 $\displaystyle 0\le c-\frac{2}{3}n<\frac{2}{3}$이다.

$\displaystyle f(x)=c$이면 $\displaystyle f\left(x-\frac{2}{3}n\right)=f(x)-\frac{2}{3}n=c-\frac{2}{3}n$이다.

$\displaystyle c=\frac{2n}{3}$이면 $\displaystyle x-\frac{2n}{3}=0,\frac{1}{2},1$이므로 $\displaystyle x=\frac{2n}{3},\frac{1}{2}+\frac{2n}{3},1+\frac{2n}{3}$이고 $\displaystyle 0<c-\frac{2}{3}n<\frac{2}{3}$이면

$\displaystyle x-\frac{2n}{3}=\frac{2+(c-\frac{2n}{3})}{4},\frac{2-(c-\frac{2n}{3})}{2},\frac{4+(c-\frac{2n}{3})}{4}$

또는

$\displaystyle x=\frac{n}{2}+\frac{2+c}{4},n+\frac{2-c}{2},\frac{n}{2}+\frac{4+c}{4}$이다.

그러므로 임의의 실수 $\displaystyle c$에 대해 $\displaystyle f(x)=c$를 만족하는 실수 $\displaystyle x$는 오직 세 개뿐이다.

문제2의 (2) 답안

문제 1)의 함수 $\displaystyle f(x)$는 실수전체집합에서 연속인 함수이므로 합성함수 $\displaystyle g(x)=f(f(\log_e x))$는 는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 연속인 함수이다.

임의의 실수 $\displaystyle c$에 대해 $\displaystyle g(x)=c$를 고려하면

문제 1)에 의해 $\displaystyle f(x_i)=c$인 세 개의 서로 다른 실수 $\displaystyle x_1,x_2,x_3$이 있다.

또 $\displaystyle f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=x_1$

$\displaystyle f(z_4)=f(z_5)=f(z_6)=x_2$

$\displaystyle f(z_7)=f(z_8)=f(z_9)=x_3$

인 서로 다른 실수 $\displaystyle z_1,z_2,\cdots,z_9$이 있다.

그러므로 $\displaystyle g(x)=c$를 만족하는 양수 $\displaystyle x$는 $\displaystyle e^{z_i}(1\le i\le9)$중에 하나이다.

따라서 함수 $\displaystyle g(x)$는 주어진 조건 (가)와 (나)를 만족하는 함수의 예이다.