의예과 4번

$\displaystyle f(x)$가 계수가 정수이고 최고차항의 차수가 5이하인 두 다항식 $\displaystyle g(x),h(x)$의 곱 $\displaystyle f(x)=g(x)h(x)$으로 표현된다고 가정하자. $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$의 최고차항의 차수가 홀수라고 하면 $\displaystyle g(x)=0$가 실근을 갖는다. 그러나 $\displaystyle f(x)>0$이므로 모순이므로 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$의 최고차항의 차수가 짝수라고 할 수 있다. $\displaystyle g(x),h(x)$의 최고차항의 차수를 각각 4와 2라고 하고 또 최고차항의 계수를 1이라고 할 수 있다.$\displaystyle f(a)=f(b)=f(c)=g(a)h(a)=g(b)h(b)=g(c)h(c)=p$이므로 $\displaystyle g(a),g(b),g(c),h(a),h(b)$ 그리고 $\displaystyle h(c)$의 값은 1 또는 $\displaystyle p$이다.그런데 $\displaystyle h(x)$는 이차식이므로 $\displaystyle h(a)=h(b)=h(c)$는 불가능하므로 $\displaystyle h(a),h(b),h(c)$ 중 두 값은 1이거나 $\displaystyle p$이다. 그러므로 $\displaystyle g(a)=g(b)=p$ 또는 $\displaystyle g(a)=g(b)=1$이라고 가정할 수 있다.

경우1. $\displaystyle g(a)=g(b)=p$이 경우에는 $\displaystyle h(a)=h(b)=1$이므로 $\displaystyle h(x)=(x-a)(x-b)+1$이다.$\displaystyle h(c)=(c-a)(c-b)+1=p$이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)=p-1$이고$\displaystyle g(x)=(x-a)(x-b)g_1(x)+p$라고 두면 $\displaystyle g(c)=1$ 또는 $\displaystyle (c-a)(c-b)g_1(c)+p=1$이므로 $\displaystyle g_1(c)=-1$또는 $\displaystyle g_1(x)=(x-c)(x-d)-1$ ($\displaystyle d$는 정수)$\displaystyle g(x)h(x)=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)(x-d)+(x-a)(x-b)[(a+b-c-d)x+cd-ab+p-1]+p$가 되고$\displaystyle g(x)h(x)=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)^2+p$이므로 차수가 5인 항의 계수들을 비교하면$\displaystyle -2(a+b+c)=-2(a+b)-c-d$ 이므로 $\displaystyle c=d$이고따라서 $\displaystyle (a+b-c-d)x+cd-ab+p-1=0$이므로$\displaystyle a+b=2c,\ c^2-ab+p-1=0$인데 $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ 를 두 번 째 식에 대입하면$\displaystyle \frac{(a-b)^2}{4}+p-1=0$가 되어 모순이다.

경우2. $\displaystyle g(a)=g(b)=1$이 경우에는 $\displaystyle h(a)=h(b)=p$ 이므로 $\displaystyle h(x)=(x-a)(x-b)+p$로 둘 수 있다.$\displaystyle h(c)=(c-a)(c-b)+p=1$이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)=1-p$이다.$\displaystyle g(x)=(x-a)(x-b)g_1(x)+1$로 둘 수 있는데 $\displaystyle g(c)=p$ 이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)g_1(c)+1=p$이므로 $\displaystyle g_1(c)=-1$이고 따라서 $\displaystyle g_1(x)=(x-c)(x-d)-1$ ($\displaystyle d$는 정수)$\displaystyle \begin{aligned}g(x)h(x)&=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)(x-d)-(x-a)^2(x-b)^2+p(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\\&\quad+(1-p)(x-a)(x-b)+p\end{aligned}$가 되고$\displaystyle (x-a)^2(x-b)^2(x-c)^2+p$ 과 윗 식의 오차항의 계수를 비교하면$\displaystyle -2(a+b+c)=-2(a+b)-c-d$ 이므로 $\displaystyle c=d$이다. 따라서$\displaystyle p(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-a)^2(x-b)^2+(1-p)(x-a)(x-b)=0$가 되어야 하는데 불가능하므로 모순이다.