의예과 4번

경우1. $\displaystyle g(a)=g(b)=p$이 경우에는 $\displaystyle h(a)=h(b)=1$이므로 $\displaystyle h(x)=(x-a)(x-b)+1$이다.$\displaystyle h(c)=(c-a)(c-b)+1=p$이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)=p-1$이고$\displaystyle g(x)=(x-a)(x-b)g_1(x)+p$라고 두면 $\displaystyle g(c)=1$ 또는 $\displaystyle (c-a)(c-b)g_1(c)+p=1$이므로 $\displaystyle g_1(c)=-1$또는 $\displaystyle g_1(x)=(x-c)(x-d)-1$ ($\displaystyle d$는 정수)$\displaystyle g(x)h(x)=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)(x-d)+(x-a)(x-b)[(a+b-c-d)x+cd-ab+p-1]+p$가 되고

$\displaystyle g(x)h(x)=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)^2+p$이므로 차수가 5인 항의 계수들을 비교하면$\displaystyle -2(a+b+c)=-2(a+b)-c-d$ 이므로 $\displaystyle c=d$이고따라서 $\displaystyle (a+b-c-d)x+cd-ab+p-1=0$이므로$\displaystyle a+b=2c,\ c^2-ab+p-1=0$인데 $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ 를 두 번 째 식에 대입하면$\displaystyle \frac{(a-b)^2}{4}+p-1=0$가 되어 모순이다.

경우2. $\displaystyle g(a)=g(b)=1$이 경우에는 $\displaystyle h(a)=h(b)=p$ 이므로 $\displaystyle h(x)=(x-a)(x-b)+p$로 둘 수 있다.$\displaystyle h(c)=(c-a)(c-b)+p=1$이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)=1-p$이다.$\displaystyle g(x)=(x-a)(x-b)g_1(x)+1$로 둘 수 있는데 $\displaystyle g(c)=p$ 이므로 $\displaystyle (c-a)(c-b)g_1(c)+1=p$이므로 $\displaystyle g_1(c)=-1$이고 따라서 $\displaystyle g_1(x)=(x-c)(x-d)-1$ ($\displaystyle d$는 정수)$\displaystyle \begin{aligned}g(x)h(x)&=(x-a)^2(x-b)^2(x-c)(x-d)-(x-a)^2(x-b)^2+p(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\\&\quad+(1-p)(x-a)(x-b)+p\end{aligned}$가 되고$\displaystyle (x-a)^2(x-b)^2(x-c)^2+p$ 과 윗 식의 오차항의 계수를 비교하면$\displaystyle -2(a+b+c)=-2(a+b)-c-d$ 이므로 $\displaystyle c=d$이다. 따라서$\displaystyle p(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-a)^2(x-b)^2+(1-p)(x-a)(x-b)=0$가 되어야 하는데 불가능하므로 모순이다.