의예과 1번

5개의 $\displaystyle p$, 5개의 $\displaystyle v$ 그리고 2개의 $\displaystyle c$를 동일한 알파벳이 연달아 나오지 않도록 일렬로 배열하는 경우의 수를 먼저 생각하자.

첫 번째 $\displaystyle c$앞에 배열되는 $\displaystyle p,v$의 개수를 $\displaystyle A_1$, $\displaystyle c$와 $\displaystyle c$사이에 배열되는 $\displaystyle p,v$의 개수를 $\displaystyle A_2$ 그리고 두 번째 $\displaystyle c$뒤에 배열되는 $\displaystyle p,v$의 개수를 $\displaystyle A_3$라고 하면 $\displaystyle A_1+A_2+A_3=10$이고 $\displaystyle c$가 연달아 배열될 수 없으므로 $\displaystyle A_2>0$이다.

이제 몇 가지 소경우로 나누어 경우의 수를 헤아리자.

(1) $\displaystyle A_1=A_3=0$

이 경우는 $\displaystyle p$가 먼저 배열되는 경우와 $\displaystyle v$가 먼저 배열되는 경우 2가지이다.

(2) $\displaystyle A_1=0,A_2,A_3>0$

$\displaystyle A_2$가 짝수인 경우 순서쌍 $\displaystyle (A_2,A_3)$를 헤아리면 4가지이다.

각 순서쌍 $\displaystyle (A_2,A_3)$에 대해 $\displaystyle p,v$의 배열의 경우의 수는 4이므로 $\displaystyle A_2$가 짝수인 경우 배열의 경우의 수는 $\displaystyle 4\times4=16$이다. 이제 $\displaystyle A_2$가 홀수라고 하고 순서쌍 $\displaystyle (A_2,A_3)$를 헤아리면 5가지이고 각 $\displaystyle (A_2,A_3)$에 대해 생각할 수 있는 $\displaystyle p,v$의 배열은 2가지이다.

그러므로 $\displaystyle 5\times2=10$가지이다. 전체적으로 $\displaystyle 16+10=26$가지이다.

(3) $\displaystyle A_1,A_2>0,A_3=0$ (2)와 마찬가지로 26가지이다.

(4) $\displaystyle A_1,A_2,A_3$가 모두 0보다 큰 짝수인 세 순서쌍 $\displaystyle (A_1,A_2,A_3)$는 모두 6개이고 이러한 각 $\displaystyle (A_1,A_2,A_3)$에 대한 $\displaystyle p,v$의 배열의 가지 수는 8가지이다. 그러므로 $\displaystyle 6\times8=48$가지이다.

(5) $\displaystyle A_1,A_2,A_3$중 두 개는 홀수이고 하나는 0보다 큰 짝수인 세 순서쌍은 모두 30개이고 각 순서쌍에 대한 $\displaystyle p,v$의 배열의 가지수는 4이므로 $\displaystyle 30\times4=120$가지이다.

그러므로 5개의 $\displaystyle p$, 5개의 $\displaystyle v$ 그리고 2개의 $\displaystyle c$를 동일한 알파벳이 연달아 나오지 않도록 일렬로 배열하는 경우의 수 $\displaystyle 2+26+26+48+120=222$이다.

위의 각 경우에 대해 5명의 피아노 연주자의 순열 $\displaystyle 5!$, 5명의 바이올린 연주자의 순열 $\displaystyle 5!$, 그리고 2명의 첼로연주자의 순열 $\displaystyle 2!$을 곱해야 하므로 전체 경우의 수는

$\displaystyle 222\times5!\times5!\times2!=222\times5!\times5!\times2!=6393600$ 가지이다.