의예과 4번

[문항 4-1](경우2)일 때,$\displaystyle 2a_{n+1}+3b_{n+1}=2a_n+3b_n+(2x_\ell-3)=2a_n+3b_n+|2x_\ell-3|$ 이고(경우3)일 때,$\displaystyle 2a_{n+1}+3b_{n+1}=2a_n+3b_n-(2x_\ell-3)=2a_n+3b_n+|2x_\ell-3|$ 이므로다음이 성립한다.$\displaystyle 2a_{n+1}+3b_{n+1}=2a_n+3b_n+|2x_\ell-3|$---(식1)

$\displaystyle x\in X$일 때, $\displaystyle |2x-3|$의 최솟값을 $\displaystyle K$라고 하자.(식1)과 $\displaystyle K$를 이용하면 다음 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}2a_{n+1}+3b_{n+1}&=2a_n+3b_n+|2x_\ell-3|\\&\ge2a_n+3b_n+K=2a_1+3b_1+nK=5+nK\end{aligned}$---(식2)Comment. 대학 답안의 $\displaystyle 2a_n+3b_n+K=2a_1+3b_1+nK$에서 등호는 $\displaystyle \ge$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문항 4-2](경우1)을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$이 존재하지 않는다고 가정하자.4-1에 있는 식의 양변을 제곱하면 다음이 성립하고$\displaystyle (2a_{n+1}+3b_{n+1})^2\ge(5+nK)^2$위 식의 좌변은 다음을 만족한다.$\displaystyle \begin{aligned}(2a_{n+1}+3b_{n+1})^2&=4a_{n+1}^2+9b_{n+1}^2+12a_{n+1}b_{n+1}\\&\le4a_{n+1}^2+9b_{n+1}^2+6(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)\\&\le15(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)\end{aligned}$따라서$\displaystyle 15(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)\ge(5+nK)^2$---(식3)

또한 $\displaystyle x\in X$일 때, $\displaystyle x^2+1$의 최댓값을 $\displaystyle L$이라고 하면(경우2)일 때,$\displaystyle a_{n+1}^2+b_{n+1}^2=(a_n+x_\ell)^2+(b_n-1)^2=a_n^2+b_n^2+2(a_nx_\ell-b_n)+x_\ell^2+1\le a_n^2+b_n^2+L$ 이고(경우3)일 때도$\displaystyle a_{n+1}^2+b_{n+1}^2=(a_n-x_\ell)^2+(b_n+1)^2=a_n^2+b_n^2-2(a_nx_\ell-b_n)+x_\ell^2+1\le a_n^2+b_n^2+L$ 이므로다음이 성립한다.$\displaystyle a_{n+1}^2+b_{n+1}^2\le a_n^2+b_n^2+L\le a_1^2+b_1^2+nL=2+nL$---(식4)

(식3)에 (식4)를 대입하면 다음이 성립한다.$\displaystyle 15(2+nL)\ge15(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)\ge(5+nK)^2$양변을 $\displaystyle n^2$으로 나눈 후, 극한값을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle 0=\lim_{n\to\infty}\frac{15(2+nL)}{n^2}\ge\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{n}+K\right)^2=K^2$---(식5)그런데 문제로부터 $\displaystyle x\in X$일 때, $\displaystyle |2x-3|$의 최솟값 $\displaystyle K$는 양수이므로 (식5)는 모순이다.그러므로 (경우1)을 만족시키는 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$이 존재한다.

[문항 4-3]4-2에서 (경우1)을 만족시키는 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$이 존재하므로 집합 $\displaystyle X$의 임의의 원소 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle (2x-3)(a_nx-b_n)>0$---(식6)이고 $\displaystyle a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=b_n$이다. $\displaystyle a_{n+1}$과 $\displaystyle b_{n+1}$도 다시 (경우1)을 만족시키므로 이런 과정을 반복하면 다음이 성립한다.$\displaystyle a_{n+m}=a_n,\ b_{n+m}=b_n\ (m\ge1)$

따라서 수열 $\displaystyle {a_n}$과 $\displaystyle {b_n}$의 각각의 극한값 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 $\displaystyle a=a_n$와 $\displaystyle b=b_n$이므로 (식6)으로부터 다음이 성립한다.모든 $\displaystyle x\in X$에 대하여 $\displaystyle (2x-3)(ax-b)>0$그러므로모든 $\displaystyle x\in X$에 대하여 $\displaystyle ax-b\ne0$