의예과 2번

[문항 2-1]모든 이차함수의 그래프는 적어도 하나의 정수점을 지난다: 거짓그 이유는 이차함수 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x(x+1)+\frac{1}{2}$의 그래프는 정수점을 지나지 않는다.

[문항 2-2]어떤 이차함수의 그래프가 지나는 정수점은 한 개다: 참그 이유는 이차함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt{2}(x-1)^2$의 그래프는 하나의 정수점을 지난다.

[문항 2-3]어떤 이차함수의 그래프가 지나는 정수점은 두 개다: 참그 이유는 이차함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt{2}(x-1)(x-2)$의 그래프는 2개의 정수점을 지난다.

[문항 2-4]어떤 이차함수의 그래프가 지나는 정수점은 세 개다: 거짓이차함수 $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$의 그래프가 서로 다른 세 개의 정수점 $\displaystyle (m_1,n_1),(m_2,n_2),(m_3,n_3)$을 지난다고 가정하자. 가정으로부터$\displaystyle n_1=am_1^2+bm_1+c$$\displaystyle n_2=am_2^2+bm_2+c$$\displaystyle n_3=am_3^2+bm_3+c$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle a,b,c$가 모두 유리수이다.$\displaystyle a=\frac{q}{p},b=\frac{t}{s}$($\displaystyle p,q,s,t$ 는 정수들)라고 두고 $\displaystyle \alpha=m_1+kps$($\displaystyle k$는 임의의 정수)라고 두면 $\displaystyle f(\alpha)$는 정수이므로 $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$는 무한히 많은 정수점을 지난다.따라서 거짓이다.