의예과 3번

함수 $\displaystyle f(x)=k\left\{-\cos^4(\pi x)+\sin^2\left(\pi x+\frac{\pi}{2}\right)\right\}=k\{-\cos^4(\pi x)+\cos^2(\pi x)\}$이다.

정의역 $\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle y=\cos(\pi x)$와 $\displaystyle y=-x^4+x^2$은 $\displaystyle y$축 대칭이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle y$축 대칭이다. 그 결과 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}1&=\int_{-1}^1f(x)dx=\int_{-1}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx\\&=\int_1^0f(-t)(-dt)+\int_0^1f(x)dx\\&=\int_0^1f(t)dt+\int_0^1f(x)dx\\&=2P(0\le X\le1)\end{aligned}$따라서 $\displaystyle P(0\le X\le1)=0.5$이다.

그리고 $\displaystyle -1\le x\le1$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle P(0\le X\le x)=\int_0^xf(t)dt=0.5$을 만족시키는 $\displaystyle x$가 유일함을 귀류법으로 보이자. $\displaystyle -1\le a<1$인 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle P(0\le X\le a)=\frac{1}{2}$를 만족시키는 $\displaystyle a$가 존재한다고 가정하자. 이 가정으로부터 $\displaystyle a\le t\le1$인 모든 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{2}&=\int_0^1f(x)dx=\int_0^af(x)dx+\int_a^tf(x)dx+\int_t^1f(x)dx\\&=\frac{1}{2}+\int_a^tf(x)dx+\int_t^1f(x)dx\end{aligned}$이므로 $\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$을 이용하면 $\displaystyle \int_a^tf(x)dx=\int_t^1f(x)dx=0$이다.따라서 $\displaystyle \int_t^1f(x)dx=0(a\le t\le1)$의 양변을 미분하면 다음이 성립한다.$\displaystyle a\le t\le1$인 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f(t)=0$----(식1)그러나 $\displaystyle -1\le x\le1$에서 $\displaystyle f(x)=k\{-\cos^4(\pi x)+\cos^2(\pi x)\}=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$는 유한개 ($\displaystyle x=0,\pm\frac{1}{2},\pm1$)이므로 (식1)은 모순이다. 따라서 $\displaystyle P(0\le X\le x)=0.5$가 되는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle x=1$이고 유일하다.Comment. 대학 답안의 $\displaystyle x=1$은 $\displaystyle -1\le x\le1$로 범위를 제한했을 때의 답이다. 발문에 적힌 조건만 따르면 모든 $\displaystyle x\ge1$이 주어진 확률 조건을 만족한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.