의예과 1번

(1) $\displaystyle a_n=\int_{-n}^{n}\frac{x^2}{1+e^{\sin x}}\,dx=\int_0^n\frac{x^2}{1+e^{\sin x}}\,dx+\int_{-n}^0\frac{x^2}{1+e^{\sin x}}\,dx$으로 변환하고 두 번째 항을 위하여 $\displaystyle y=-x$로 치환하면$\displaystyle a_n=\int_0^n x^2\left(\frac{1}{1+e^{\sin x}}+\frac{1}{1+e^{-\sin x}}\right)dx=\frac{n^3}{3}$을 얻는다.

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^n(k^2+1)k!\ge2023!$를 만족하는 최소 자연수 $\displaystyle n$를 구하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n(k^2+1)k!&=\sum_{k=1}^n(k+1)\cdot(k+1)!-2k\cdot k!\\&=\sum_{k=1}^n((k+2)!-(k+1)!)-2((k+1)!-k!)\\&=(n+2)!-2(n+1)!\end{aligned}$이다.

(3) 2021은 만족하지 않고 2022은 만족함을 확인할 수 있다. 그러므로 구하는 최소 자연수는 $\displaystyle n=2022$이다.