의예과 2번

$\displaystyle p(1)+p(-1)=0$이므로 $\displaystyle b=-d$임을 알 수 있고 (다) 조건으로부터 $\displaystyle \overline{AB}=2|a|+2$와 $\displaystyle \overline{BC}=|b|$가 서로 소이므로 $\displaystyle b$와 $\displaystyle d$가 홀수임을 안다.

삼각형 $\displaystyle ABC$가 직각삼각형이고 빗변이 홀수이므로 그 수를 $\displaystyle 2m+1,\ b=2n+1$이라고 두면 피타고라스 정리에 의해$\displaystyle (2|a|+2)^2=(2m+1)^2-(2n+1)^2=4m^2+4m-4n^2-4n=4m(m+1)-4n(n+1)$임을 알 수 있다결과적으로 $\displaystyle |a|+1=m(m+1)-n(n+1)$이고 우변은 “짝수” - “짝수” 이므로 짝수이고 따라서 $\displaystyle a$는 홀수가 된다.Correction. 대학 답안의 $\displaystyle |a|+1=m(m+1)-n(n+1)$은 $\displaystyle (|a|+1)^2=m(m+1)-n(n+1)$의 제곱이 빠진 표기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이제 정수$\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle x=\frac{k+1}{k}$일 때 $\displaystyle p\left(\frac{k+1}{k}\right)=0$이라고 하면$\displaystyle a(k+1)^3+bk(k+1)^2+ck^2(k+1)+d(k)^3=0$이다.(i) $\displaystyle k\equiv0\pmod2$인 경우, 즉 $\displaystyle k=$“짝수”인 경우,$\displaystyle a(k+1)^3=-bk(k+1)^2-ck^2(k+1)-dk^3$으로부터 “홀수” = “짝수” 가 유도되어 모순(ii) $\displaystyle k\equiv1\pmod2$인 경우, 즉 $\displaystyle k=$“홀수”인 경우,$\displaystyle a(k+1)^3+bk(k+1)^2+ck^2(k+1)=-dk^3$으로부터 “홀수” = “짝수” 가 유도되어 모순

$\displaystyle x=\frac{k}{k+1}$인 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다.