의예과 4번

(1) 변 $\displaystyle \overline{AF}=\sqrt5,\overline{DF}=\sqrt5,\overline{AD}=\sqrt{10}$임을 계산할 수 있고 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{AF}\perp\overline{DF}$임을 알수 있다. 이제 삼각형 $\displaystyle \triangle AFD$의 넓이를 구하는 계산식으로부터 $\displaystyle \overline{AF}\,\overline{FD}=\overline{AD}\,\overline{EF}$이므로 $\displaystyle \overline{EF}=\sqrt{\frac52}$.

(2) $\displaystyle \overline{AH}$의 길이는 점 A에서 마주보는 면까지의 최소길이이므로 마주보는 면 위의 다른 점 $\displaystyle M$에 대하여 $\displaystyle \overline{AM}\ge\overline{AH}$.

(3) 점 $\displaystyle B,C,D$를 포함하는 평면을 $\displaystyle \alpha$라고 두고 이 평면위에 있으면서 변 $\displaystyle \overline{BC}$에 평행하면서 점 $\displaystyle D$를 지나는 직선을 $\displaystyle l$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle \overline{DF}\perp l,\overline{AF}\perp l,\overline{AD}\perp\overline{DF}$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{AF}\perp\alpha$이다. 즉 $\displaystyle H=F$이고 $\displaystyle \overline{AF}=\sqrt5$.Correction. 대학 답안 (3)의 $\displaystyle \overline{AD}\perp\overline{DF}$는 $\displaystyle \overline{AF}\perp\overline{DF}$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{EF}=\sqrt{\frac52}<\overline{AF}=\sqrt5<2\overline{EF}=\sqrt{10}$

(4) $\displaystyle d=\overline{EF}$라고 두자.I) $\displaystyle \overline{D^{\prime}F^{\prime}}\ge\overline{A^{\prime}F^{\prime}}$인 경우, 점 $\displaystyle A^{\prime}$에서 선분 $\displaystyle D^{\prime}F^{\prime}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle M^{\prime}$이라고 하면$\displaystyle \frac{h}{d}\le\frac{\overline{A^{\prime}M^{\prime}}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{A^{\prime}D^{\prime}}}{\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}<\frac{\overline{A^{\prime}F^{\prime}}+\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}{\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}<\frac{2\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}{\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}=2$II) $\displaystyle \overline{A^{\prime}F^{\prime}}\ge\overline{B^{\prime}F^{\prime}}$인 경우 $\displaystyle D^{\prime}$에서 선분 $\displaystyle A^{\prime}F^{\prime}$위에 내린 수선의 발을 $\displaystyle G^{\prime}$라고 하면Correction. 대학 답안 (4)의 두 번째 경우에 적힌 $\displaystyle \overline{B^{\prime}F^{\prime}}$는 $\displaystyle \overline{D^{\prime}F^{\prime}}$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{h}{d}\le\frac{\overline{D^{\prime}G^{\prime}}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{A^{\prime}D^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}F^{\prime}}}<\frac{\overline{A^{\prime}F^{\prime}}+\overline{D^{\prime}F^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}F^{\prime}}}<\frac{2\overline{A^{\prime}F^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}F^{\prime}}}=2$Caution. 부등식을 적용할 때는 등호가 성립하는 경우도 확인해야 한다: 대학 답안에서 두 변의 합을 긴 변의 두 배로 바꾸는 단계의 $\displaystyle <$는 $\displaystyle \le$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.