의예과 3번

(1) (나) 로 부터 $\displaystyle g(0)=0$이고 모든 $\displaystyle t<0\ g(t)>0$이다.

(2) $\displaystyle t<0$인 경우 : $\displaystyle P(x)=f(t)x^5+g(t)x+t^2$라 놓으면 $\displaystyle P^{\prime}(x)=5f(t)x^4+g(t)>0$이고 $\displaystyle P$는 충분히 큰 양수 $\displaystyle x_1$에 대하여, 즉 $\displaystyle P(x_1)>0$이고 음이면서 그 절대값이 충분히 큰 $\displaystyle x_2$에 대하여, 즉 $\displaystyle P(x_2)<0$이다. 그러므로 사잇값 정리에 의해 단 하나의 실근을 갖는다.

(3) $\displaystyle t=0$인 경우 : $\displaystyle P(x)=f(0)x^5+g(0)x=f(0)x^5$이므로 $\displaystyle x=0$에서 5중근을 갖는다.

(4) $\displaystyle t>0$인 경우 : $\displaystyle P^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=\pm\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}$을 얻는다. 그리고$\displaystyle P^{\prime\prime}\left(\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}\right)>0,P^{\prime\prime}\left(-\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}\right)<0$이다. 그러므로, $\displaystyle P(x)$는 $\displaystyle x=\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}$에서 극소를 $\displaystyle x=-\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}$에서 극대를 갖는다. 또한 (다) 조건으로부터$\displaystyle \begin{aligned}P\left(\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}\right)&=f(t)\left(\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}\right)^5+f(t)\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}+t^2\\&=\frac45g(t)\left(\frac{-g(t)}{5f(t)}\right)^{1/4}+t^2>0\end{aligned}$Correction. 대학 답안의 극솟값 계산에서 일차항에 곱한 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle g(t)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 그러므로 $\displaystyle P(x)$는 단 한 개의 실근을 갖는다.