자연계열 1번

(a)

$\displaystyle \frac{{d \left( \ln y \right)}}{d x} = \frac{{1}}{y} \cdot \frac{{d y}}{d x} = \frac{{\frac{{d y}}{d t}}}{y \frac{{d x}}{d t}} = \frac{{- 2 x \cos x - \sin x}}{- \cos x} = 2 x + \tan x$

(b)

$\displaystyle \frac{{d \left( \ln y \right)}}{d x} = 2 x + \tan x$

좌변과 우변을 각각 $\displaystyle x$에 대하여 적분하면$\displaystyle \int\frac{d(\ln y)}{dx}\,dx=2\int x\,dx+\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$이므로$\displaystyle \ln y = x^{2} - \ln \cos x + C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이다.

그런데 $\displaystyle x = 0$일 때 $\displaystyle y = 3$이므로 $\displaystyle C = \ln 3$ 즉, $\displaystyle \ln y = x^{2} - \ln \cos x + \ln 3$이다.

따라서 $\displaystyle y = \frac{{3 e^{x^{2}}}}{\cos x}$이다.