자연계열 4번

(a)

$\displaystyle x^2+(y-r)^2=r^2$에서 $\displaystyle x^2=r^2-(y-r)^2=2ry-y^2$이므로, 회전체의 부피 공식을 이용하면$\displaystyle \pi\int_0^h x^2\,dy=\pi\int_0^h(2ry-y^2)\,dy=\pi\Biggl[ry^2-\frac13y^3\Biggr]_0^h=\pi\left(rh^2-\frac13h^3\right)$

(b)

용기의 단면을 보면 작은 원 두 개가 서로 외접하고 동시에 큰 원에 내접하므로 삼각형 $\displaystyle \triangle \mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3}$는 밑변의 길이가 6cm, 빗변이 5cm인 이등변삼각형이다. 따라서 용기와 쇠공의 관계는 다음과 같다.

용기 안의 물의 양은 $\displaystyle 105 \pi$이고 (a)번 결과에 의해서 높이 1일 때와 높이 7일 때의 용기의 부피는 각각$\displaystyle \frac{{23 \pi}}{3} = \pi \left( 8 \times 1^{2} - \frac{{1}}{3} \times 1^{3} \right) , \frac{{617 \pi}}{3} = \pi \left( 8 \times 7^{2} - \frac{{1}}{3} \times 7^{3} \right) - 2 \pi \left( 3 \times 6^{2} - \frac{{1}}{3} \times 6^{3} \right)$이다.

따라서 수면의 높이는 쇠공의 중간에 있고, 그 때의 높이를 $\displaystyle h$라 하면 (a)로부터 부피는$\displaystyle V = \pi \left( 8 h^{2} - \frac{{1}}{3} h^{3} \right) - 2 \pi \left\{ 3 \left( h - 1 \right)^{2} - \frac{{1}}{3} \left( h - 1 \right)^{3} \right\} = \frac{{\pi}}{3} \left( h^{3} + 42 h - 20 \right)$이다.

따라서 채워진 물이 $\displaystyle 105 \pi$되는 순간, 수면의 높이는 방정식 $\displaystyle 105 \pi = \frac{{\pi}}{3} \left( h^{3} + 42 h - 20 \right)$의 해이므로 이것을 풀면$\displaystyle h^{3} + 42 h - 335 = \left( h - 5 \right) \left( h^{2} + 5 h + 67 \right) = 0$이고, $\displaystyle h = 5$이다. 또한 $\displaystyle V$의 식을 시간에 대해서 미분하면 $\displaystyle \frac{{d V}}{d t} = \left( \pi h^{2} + 14 \pi \right) \frac{{d h}}{d t}$인데 $\displaystyle \frac{{d V}}{d t} = 21 \pi , h = 5$이므로 수면 높이의 속력은 $\displaystyle \frac{{d h}}{d t} = \frac{{7}}{13}$이다.