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자연계열 3번

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서울시립대 2014학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/uos/2014su/jayeon_3

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[문제 3]

각 자리의 숫자로 1, 2, 3, 4, 5 만이 사용된 2014자리 자연수 전체집합을 A\displaystyle A라고 하자.

(a) 집합 A\displaystyle A에 속하는 자연수 중에서 자리의 숫자에 쓰인 1의 개수가 홀수인 것의 개수를 m\displaystyle m이라 할 때, 2m\displaystyle 2 m의 일의 자리의 숫자를 구하여라. (50점)

(b) 집합 A\displaystyle A에 속하는 자연수 중에서 자리의 숫자에 쓰인 1과 2의 개수가 각각 홀수인 것의 개수를 n\displaystyle n이라 할 때, 4n\displaystyle 4 n의 일의 자리의 숫자를 구하여라. (50점)

해설강의 준비중

논술 생성함수

관련 개념강의 준비중

서울시립대 2014학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/uos/2014su/jayeon_3

이항정리에서 n\displaystyle n이 자연수일 때, (a+b)n=∑k=0nnCkan−kbk\displaystyle \left( a + b \right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k} a^{n - k} b^{k}이므로 다음이 성립한다.(a+b)2n−(a−b)2n=2∑k=1n2nC2k−1a2n−(2k−1)b2k−1\displaystyle \left( a + b \right)^{2 n} - \left( a - b \right)^{2 n} = 2 \sum_{k = 1}^{n}{}_{2 n}\mathrm{C}_{2 k - 1} a^{2 n - \left( 2 k - 1 \right)} b^{2 k - 1},,(a+b)2n−1−(a−b)2n−1=2∑k=1n2n−1C2k−1a(2n−1)−(2k−1)b2k−1\displaystyle \left( a + b \right)^{2 n - 1} - \left( a - b \right)^{2 n - 1} = 2 \sum_{k = 1}^{n}{}_{2 n - 1}\mathrm{C}_{2 k - 1} a^{\left( 2 n - 1 \right) - \left( 2 k - 1 \right)} b^{2 k - 1}

(a)

a∈A\displaystyle a \in A이고 a\displaystyle a의 자리의 숫자 중 1의 개수가 2k−1\displaystyle 2 k - 1인 a\displaystyle a의 개수는, 먼저 자리의 숫자 1의 위치를 2014곳 중에서 2k−1\displaystyle 2 k - 1곳 선택하고, 나머지 2014−(2k−1)\displaystyle 2014 - \left( 2 k - 1 \right) 곳은 2, 3, 4, 5 중 어느 하나를 선택하는 방법의 수이므로, 2014C2k−142014−(2k−1)\displaystyle {}_{2014}\mathrm{C}_{2 k - 1} 4^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)}이다.

따라서2m=2∑k=110072014C2k−142014−(2k−1)12k−1=(4+1)2014−(4−1)2014=52014−32014\displaystyle 2 m = 2 \sum_{k = 1}^{1007}{}_{2014}\mathrm{C}_{2 k - 1} 4^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)} 1^{2 k - 1} = \left( 4 + 1 \right)^{2014} - \left( 4 - 1 \right)^{2014} = 5^{2014} - 3^{2014}이다.그런데 52014\displaystyle 5^{2014}의 일의 자리의 숫자가 5, 32014\displaystyle 3^{2014}의 일의 자리의 숫자가 9이므로 2m\displaystyle 2 m의 일의 자리의 숫자는 6이다.

(b)

(a)와 같은 방법으로 a∈A\displaystyle a \in A이고 a\displaystyle a의 자리의 숫자 중 1의 개수가 2k−1\displaystyle 2 k - 1, 2의 개수가 2l−1\displaystyle 2 l - 1인 a\displaystyle a의 개수는2014C2k−1⋅2014−(2k−1)C2l−1⋅32014−(2k−1)−(2l−1)\displaystyle {}_{2014}\mathrm{C}_{2 k - 1} \cdot{}_{2014 - \left( 2 k - 1 \right)}\mathrm{C}_{2 l - 1} \cdot 3^{2014 - \left( 2 k - 1 \right) - \left( 2 l - 1 \right)}이므로 다음이 성립한다.

[1] 2∑l=11007−k2014−(2k−1)C2l−132014−(2k−1)−(2l−1)12l−1=42014−(2k−1)−22014−(2k−1)\displaystyle 2 \sum_{l = 1}^{1007 - k}{}_{2014 - \left( 2 k - 1 \right)}\mathrm{C}_{2 l - 1} 3^{2014 - \left( 2 k - 1 \right) - \left( 2 l - 1 \right)} 1^{2 l - 1} = 4^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)} - 2^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)}Correction. (b)의 [1]에서 합의 상한 1007−k\displaystyle 1007-k는 1008−k\displaystyle 1008-k의 오기다. 남은 2015−2k\displaystyle 2015-2k자리에서 2l−1\displaystyle 2l-1자리를 고르므로 l≤1008−k\displaystyle l\le1008-k이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[2] 2∑k=110072014C2k−142014−(2k−1)=52014−32014,2∑k=110072014C2k−122014−(2k−1)=32014−12014\displaystyle 2 \sum_{k = 1}^{1007}{}_{2014}\mathrm{C}_{2 k - 1} 4^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)} = 5^{2014} - 3^{2014} , 2 \sum_{k = 1}^{1007}{}_{2014}\mathrm{C}_{2 k - 1} 2^{2014 - \left( 2 k - 1 \right)} = 3^{2014} - 1^{2014}

따라서 4n=52014−2⋅32014+1\displaystyle 4 n = 5^{2014} - 2 \cdot 3^{2014} + 1이고, 52014\displaystyle 5^{2014}의 일의 자리의 숫자가 5, 32014\displaystyle 3^{2014}의 일의 자리의 숫자가 9이므로 4n\displaystyle 4 n의 일의 자리의 숫자는 8이다.

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