자연계열 2번

(a)

조건 (1)에 의하여 $\displaystyle \overrightarrow{QP} = \left( t , - 1 \right)$과 수직인 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{QR_{i}}$은 $\displaystyle \left( 1 , t \right)$와 평행하다. 그러므로 직선 $\displaystyle y = t x + 1$는 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$를 지난다. 조건 (2)에 의하여, 준선 $\displaystyle y = - 1$과 초점이 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 0 , 1 \right)$인 포물선 $\displaystyle y = \frac{{1}}{4} x^{2}$ 위에 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$가 존재한다. 즉, $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$는 직선 $\displaystyle y = t x + 1$과 포물선 $\displaystyle y = \frac{{1}}{4} x^{2}$의 교점이다. $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$는 방정식 $\displaystyle x^{2} - 4 t x - 4 = 0$의 근이다.

그런데 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha + \beta = 4 t , \alpha \beta = - 4$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{R}_2}&=\left(\alpha-t,\frac{\alpha^2}4\right)\cdot\left(\beta-t,\frac{\beta^2}4\right)\\&=(\alpha-t)(\beta-t)+\frac{\alpha^2\beta^2}{16}\\&=\alpha\beta-t(\alpha+\beta)+t^2+\frac{(\alpha\beta)^2}{16}\\&=-4-4t^2+t^2+1\\&=-3t^2-3\end{aligned}$

(b)

$\displaystyle x^{2} - 4 t x - 4 = 0$의 근은 $\displaystyle 2 t ± \sqrt{4 t^{2} + 4}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \alpha$라고 하면 $\displaystyle \alpha = 2 t - 2 \sqrt{t^{2} + 1}$이다. 세 점 $\displaystyle \mathrm{O} \left( 0 , 0 \right) , \mathrm{R} \left( \alpha , \frac{{\alpha^{2}}}{4} \right) , \mathrm{S} \left( - \alpha , \frac{{\alpha^{2}}}{4} \right)$를 지나는 원의 중심은 $\displaystyle y$축에 있으므로 원의 방정식은 $\displaystyle x^{2} + \left( y - r \right)^{2} = r^{2}$이다. 이 원이 점 $\displaystyle \mathrm{R}$을 지나므로

$\displaystyle \alpha^2+\left(\frac{\alpha^2}4-r\right)^2=r^2,$

$\displaystyle \alpha^2+\frac{\alpha^4}{16}-\frac{r\alpha^2}2=0,$

$\displaystyle r=2+\frac{\alpha^2}8=2+\frac{(t-\sqrt{t^2+1})^2}2$이다. 그런데,

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} {\left( t - \sqrt{t^{2} + 1} \right) = \lim_{t \to \infty} {\frac{{- 1}}{t + \sqrt{t^{2} + 1}} = 0}}$이므로, $\displaystyle \lim_{t \to \infty} {r \left( t \right) = 2}$이다.