자연계열 1번

점 $\displaystyle \mathrm{P} ( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$와 평면 $\displaystyle a x + b y + c z + d = 0$ 사이의 거리를 $\displaystyle h$라고 하고, 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}$에서 평면 $\displaystyle a x + b y + c z + d = 0$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H} ( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$이라고 하면 $\displaystyle h = \left| \overrightarrow{\mathrm{HP}} \right|$이고, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}$는 평면 $\displaystyle a x + b y + c z + d = 0$의 법선벡터 $\displaystyle \vec n = ( a , b , c )$에 평행하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}=t\vec n$인 실수 $\displaystyle t$가 존재한다. 이때 $\displaystyle (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)=t(a,b,c)$이다.따라서$\displaystyle x_{1} = x_{0} - a t , y_{1} = y_{0} - b t , z_{1} = z_{0} - c t$이고 점 $\displaystyle \mathrm{H}$가 평면 $\displaystyle a x + b y + c z + d = 0$의 점이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle a ( x_{0} - a t ) + b ( y_{0} - b t ) + c ( z_{0} - c t ) + d = 0 , t = \frac{{a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$따라서 $\displaystyle h=|\overrightarrow{\mathrm{HP}}|=|t|\,|\vec n|=\left|\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}\right|\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$이다.