자연계열 2번

포물선 $\displaystyle y = x^{2} + 8 x + 15$와 직선 $\displaystyle y = x + 5$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x = - 5$와 $\displaystyle x = - 2$이다.

또 구간 $\displaystyle [ - 5 , - 4 ]$에서 $\displaystyle 0 \leq x + 5 \leq - ( x^{2} + 8 x + 15 ) ,$ 구간 $\displaystyle [ - 4 , - 3 ]$에서 $\displaystyle 0 \leq - ( x^{2} + 8 x + 15 ) \leq x + 5$, 구간 $\displaystyle [ - 3 , - 2 ]$에서 $\displaystyle 0 \leq x^{2} + 8 x + 15 \leq x + 5$이다.

따라서 구하는 회전체의 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}V&=\pi\int_{-5}^{-4}(x^2+8x+15)^2\,dx+\pi\int_{-4}^{-3}(x+5)^2\,dx+\pi\int_{-3}^{-2}\{(x+5)^2-(x^2+8x+15)^2\}\,dx\\&=\pi\int_{-5}^{-4}\{(x+4)^2-1\}^2\,dx+\pi\int_{-4}^{-2}(x+5)^2\,dx-\pi\int_{-3}^{-2}\{(x+4)^2-1\}^2\,dx\end{aligned}$

이제 $\displaystyle t = x + 4$라 하면,$\displaystyle \int_{- 5}^{- 4} {\left\{ ( x + 4 )^{2} - 1 \right\}}^{2} d x = \int_{- 1}^{0} {( t^{2} - 1 )^{2} d t} = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 ,$$\displaystyle \int_{- 3}^{- 2} {\left\{ ( x + 4 )^{2} - 1 \right\}^{2} d x = \int_{1}^{2} {( t^{2} - 1 )^{2} d t} = \frac{31}{5} - \frac{14}{3} + 1}$이고$\displaystyle \int_{- 4}^{- 2} {( x + 5 )^{2} d x} = \frac{26}{3}$이므로,$\displaystyle V = \pi ( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 + \frac{26}{3} - \frac{31}{5} + \frac{14}{3} - 1 ) = \frac{20}{3} \pi$이다.