자연계열 3번

조건으로부터 함수 $\displaystyle y = f ( x )$는 주기가 2이므로 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{2n} x + \frac{n}{2}$을 $\displaystyle l_{n}$이라 하자. 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 치역이 구간 [0,1]이므로 점 $\displaystyle ( a , b )$가 직선 $\displaystyle l_{n}$과 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프의 교점이면 $\displaystyle 0 \leq b \leq 1$이다. 특히 직선 $\displaystyle l_{n}$과 직선 $\displaystyle y = 0 , y = 1$의 교점은 각각 $\displaystyle ( n^{2} , 0 )$과 $\displaystyle ( n^{2} - 2 n , 1 )$이다.

$\displaystyle n$이 홀수이면 $\displaystyle n^{2}$과 $\displaystyle n^{2} - 2 n$은 홀수이므로 직선 $\displaystyle l_{n}$과 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle k = 1 , 2 , \cdots , n$일 때 구간 $\displaystyle ( n^{2} - 2 n + 2 k - 2 , n^{2} - 2 n + 2 k]$에서 직선 $\displaystyle l_{n}$과 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프의 교점은 2개이므로$\displaystyle a_{n} = 2 n$이다.

$\displaystyle n$이 짝수이면 $\displaystyle n^{2}$과 $\displaystyle n^{2} - 2 n$은 짝수이므로 직선 $\displaystyle l_{n}$과 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

그림으로부터 직선 $\displaystyle l_{n}$과 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다.

[1] $\displaystyle k =1 , 2 , \cdots , n$일 때 구간 $\displaystyle ( n^{2} - 2 n + 2 k - 3 , n^{2} - 2 n + 2 k - 1 ]$에서 각각 2개

[2] 구간 $\displaystyle ( n^{2} - 1 , n^{2} ]$에서 1개

따라서 $\displaystyle n$이 짝수이면$\displaystyle a_{n} = 2 n + 1$이다. 그러므로$\displaystyle \sum_{k=1}^{99}a_k=\sum_{k=1}^{50}a_{2k-1}+\sum_{k=1}^{49}a_{2k}=\sum_{k=1}^{50}(4k-2)+\sum_{k=1}^{49}(4k+1)=9949$이다.