자연계열 4번

(a) $\displaystyle \begin{aligned}\cos3\theta&=\cos(\theta+2\theta)=\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta\\&=\cos\theta(2\cos^2\theta-1)-\sin\theta(2\sin\theta\cos\theta)=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\&=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\end{aligned}$

(b) $\displaystyle x = 100 \cos \frac{{4 \pi}}{9}$라 하자. (a)에 의하여$\displaystyle -\frac12=\cos\left(3\cdot\frac{4\pi}9\right)=4\cos^3\frac{4\pi}9-3\cos\frac{4\pi}9$이므로$\displaystyle 8 \cos^{3} \frac{{4 \pi}}{9} - 6 \cos \frac{{4 \pi}}{9} + 1 = 0$이다. 이 식에 $\displaystyle \cos \frac{{4 \pi}}{9} = \frac{x}{100}$을 대입하면$\displaystyle 8 x^{3} - 60000 x + 1000000 = 0$이다. 이제$\displaystyle f ( x ) = 8 x^{3} - 60000 x + 1000000$라 하면$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 24 x^{2} - 60000 = 24 ( x - 50 ) ( x + 50 )$이므로, 함수 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = - 50$일 때 극댓값 $\displaystyle 3000000$을 갖고, $\displaystyle x = 50$일 때 극솟값 -1000000을 갖는다. 그러므로 방정식 $\displaystyle f ( x )= 0$의 근은 구간 $\displaystyle ( - \infty , - 50 ) , ( - 50 , 50 ) , ( 50 , \infty )$에 각각 하나씩 존재한다. 한편$\displaystyle \frac{\pi}{3} < \frac{{4 \pi}}{9} < \frac{\pi}{2}$이므로$\displaystyle 0 = \cos \frac{\pi}{2} < \cos 4 \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$이다. 그러므로$\displaystyle 0 < x = 100 \cos 4 \frac{\pi}{9} < 50$이다.

0과 50 사이에 존재하는 근의 범위를 찾기 위하여 주어진 표를 이용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle f ( 17 ) = 19304 > 0$$\displaystyle f ( 18 ) = - 33344 < 0$따라서 중간값의 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle f ( x ) = 0$은 $\displaystyle 17 < x < 18$에서 해를 갖는다.그러므로 $\displaystyle x = 100 \cos 4 \frac{\pi}{9}$의 정수 부분은 17이다.