자연계열 1번

(a) 정 $\displaystyle n$각형의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 코사인 법칙에 의해$\displaystyle 2^2=x^2+x^2-2x^2\cos\frac{2\pi}n,\quad x^2=\frac2{1-\cos\frac{2\pi}n}$이므로 $\displaystyle S_n=n\cdot\frac12x^2\sin\left(\frac{2\pi}n\right)=\frac n2\cdot\frac2{1-\cos\frac{2\pi}n}\cdot\sin\left(\frac{2\pi}n\right)=n\frac{\sin\left(\frac{2\pi}n\right)}{1-\cos\frac{2\pi}n}$이다.

또 $\displaystyle \sin\frac{2\pi}n=2\sin\frac\pi n\cos\frac\pi n,\ 1-\cos\frac{2\pi}n=2\sin^2\frac\pi n$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi n}=\frac1\pi$이다.

(b) 외접하는 원뿔의 높이를 $\displaystyle h ( h > 2 ) ,$ 밑면의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$, 빗변의 길이를 $\displaystyle x + r$이라 하면 원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} \pi r^{2} h$이고, $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{h}{r} , x^{2} = ( h - 1 )^{2} - 1^{2} = h ( h - 2 )$이므로

$\displaystyle r^2=\frac{h^2}{x^2}=\frac{h^2}{h(h-2)}=\frac h{h-2}$이고 $\displaystyle \frac13\pi r^2h=\frac\pi3\frac{h^2}{h-2}$이다.

또 $\displaystyle \frac{h^2}{h-2}=(h-2)+\frac4{h-2}+4\ge2\sqrt{(h-2)\cdot\frac4{h-2}}+4=8$이고 등호는 $\displaystyle h=4$일 때 성립하므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac{8\pi}3$이다.