자연계열 2번

(a) $\displaystyle h ( x ) = x - \ln ( x + 1 )$라 하면 $\displaystyle h ( 0 ) = 0$이고, $\displaystyle x > 0$일 때 $\displaystyle h^{\prime} ( x ) = 1 - \frac{1}{x+1} > 0$이므로 $\displaystyle h ( x ) > 0$이다.

따라서 $\displaystyle x > 0$일 때 $\displaystyle 0 < f ( x ) = \frac{{x ( x - \ln ( x + 1 ) )}}{e^{x}}$이다.

또 $\displaystyle x > 0$일 때 $\displaystyle \ln ( x + 1 ) > 0$이므로 $\displaystyle \frac{{x - \ln ( x + 1 )}}{e^{x}} < \frac{x}{e^{x}}$이다.

이제 $\displaystyle g ( x ) = \frac{x}{e^{x}}$라 하면 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = ( 1 - x ) e^{-x}$이므로 $\displaystyle g ( x )$는 $\displaystyle x = 1$에서 최댓값 $\displaystyle g ( 1 ) = \frac{1}{e}$을 가진다.

따라서$\displaystyle g(x)\le\frac1e<\frac12$이므로$\displaystyle \frac{x-\ln(x+1)}{e^x}<\frac12$임을 보였다.

그러므로 $\displaystyle x > 0$일 때 $\displaystyle f ( x ) < \frac{1}{2} x$이다.

(b) (a)에 의하여$\displaystyle 0<a_1=f(1)<\frac12,\quad0<a_2=f(a_1)<\frac12a_1<\frac12\cdot\frac12$이다. 이를 반복적으로 적용하면$\displaystyle 0<a_n<\left(\frac12\right)^n$이므로$\displaystyle 0\le a_n\le\left(\frac12\right)^n$을 얻는다.

위 부등식의 양쪽 수열에 극한을 택하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}0=0=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^n$이므로 극한의 성질에 의하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_{n}} = 0$이다.