자연계열 1번

(a) 삼각함수의 덧셈정리에 의해$\displaystyle \sin \frac{{\pi x}}{4 n} - \cos \frac{{\pi x}}{4 n} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{{\pi x}}{4 n} - \frac{\pi}{4} \right) < 1$이므로 $\displaystyle 0 < x < 10 n$의 범위에서 이를 풀면$\displaystyle 0 < x < 2 n$ 또는 $\displaystyle 4 n < x < 10 n$이다. 또한 $\displaystyle 0 < x < 10 n$의 범위에서 $\displaystyle x^{2} - 14 n x + 48 n^{2} = ( x - 6 n ) ( x - 8 n ) > 0$의 해는$\displaystyle 0 < x < 6 n$ 또는 $\displaystyle 8 n < x < 10 n$이다. 따라서$\displaystyle S_{n} = ( 0 , 2 n ) \cup ( 4 n , 6 n ) \cup ( 8 n , 10 n )$이다.

순서쌍 $\displaystyle ( p , q )$가 문제의 조건을 만족하면, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$가 모두 홀수 혹은 모두 짝수이고, 또한 다음의 두 가지 경우 중 하나이다.

(i) $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$가 모두 $\displaystyle ( 0 , 2 n )$ 또는 $\displaystyle ( 4 n , 6 n )$ 또는 $\displaystyle ( 8 n , 10 n )$에 포함되는 경우

(ii) $\displaystyle p \in ( 0 , 2 n )$이고 $\displaystyle q \in ( 8 n , 10 n )$ 또는 $\displaystyle p \in ( 8 n , 10 n )$이고 $\displaystyle q \in ( 0 , 2 n )$인 경우

한편 $\displaystyle ( 0 , 2 n )$, $\displaystyle ( 4 n , 6 n )$, $\displaystyle ( 8 n , 10 n )$에는 각각 $\displaystyle n$개의 홀수와 $\displaystyle n - 1$개의 짝수가 있다.

따라서 (i)인 경우 순서쌍 $\displaystyle ( p , q )$의 개수는 각 세 집합에서 동시에 두 홀수를 선택하거나 혹은 동시에 두 짝수를 선택하는 경우의 수인데 $\displaystyle p < q$와 $\displaystyle p > q$ 두 가지 경우가 있으므로 전체 경우의 수는$\displaystyle 2\cdot3\cdot({}_{n}\mathrm C_2+{}_{n-1}\mathrm C_2)$이다.

(ii)인 경우 순서쌍 $\displaystyle ( p , q )$의 개수는 $\displaystyle p \in ( 0 , 2 n )$이고 $\displaystyle q \in ( 8 n , 10 n )$인 경우 동시에 홀수 혹은 짝수를 선택하는 경우의 수와 $\displaystyle p \in ( 8 n , 10 n )$이고 $\displaystyle q \in ( 0 , 2 n )$인 경우 동시에 홀수 혹은 짝수를 선택하는 경우의 수의 합이므로 전체 경우의 수는$\displaystyle 2 \cdot ( n^{2} + ( n - 1 )^{2} )$이다. 그러므로$\displaystyle a_n=3\{n(n-1)+(n-1)(n-2)\}+2\{n^2+(n-1)^2\}=10n^2-16n+8$이다.

(b) 자연수 $\displaystyle k$에 대해서 $\displaystyle a_{k} - 2 = 2 ( 5 k - 3 ) ( k - 1 )$이므로$\displaystyle a_{k} a_{k + 1} - 2 a_{k} - 2 a_{k + 1} + 4 = ( a_{k} - 2 ) ( a_{k + 1} - 2 ) = 4 ( 5 k - 3 ) ( k - 1 ) ( 5 k + 2 ) k$이다. 따라서 문제의 식은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^n\frac{k^2-k}{a_ka_{k+1}-2a_k-2a_{k+1}+4}&=\frac14\sum_{k=2}^n\frac1{(5k-3)(5k+2)}\\&=\frac1{20}\sum_{k=2}^n\left(\frac1{5k-3}-\frac1{5k+2}\right)\\&=\frac1{20}\left(\frac17-\frac1{5n+2}\right)\\&=\frac{n-1}{28(5n+2)}\end{aligned}$이다.