자연계열 3번

(a) (총 40점)

함수 $\displaystyle h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$라 하면 $\displaystyle h ( x ) = x^{3} + a x^{2} + b x - 9 x = x ( x^{2} + a x + b - 9 ) = x ( x - c )^{2}$이다.곡선 $\displaystyle y = f ( x )$와 직선 $\displaystyle y = g ( x )$가 $\displaystyle x = c$ $\displaystyle ( c > 0 )$에서 접하므로 $\displaystyle a = - 2 c$이고 $\displaystyle b = c^{2} + 9$이다.따라서 $\displaystyle \left| \frac{{b}}{a + c} \right|$는 다음과 같다.$\displaystyle \left| \frac{{b}}{a + c} \right| = \left| \frac{{c^{2} + 9}}{- 2 c + c} \right| = \left| c + \frac{{9}}{c} \right| \geq 2 \sqrt{c \cdot \frac{{9}}{c}} = 2 \sqrt{9} = 6$따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle a = - 6$, $\displaystyle b = 18$, $\displaystyle c = 3$일 때 $\displaystyle 6$이다.

(b) (총 60점)

함수 $\displaystyle h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$라 하면, $\displaystyle h ( x ) = x^{3} + a x^{2} + b x - 9 x = x ( x - \alpha ) ( x - \beta )$이다.

삼차함수와 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 같으므로 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \int_{0}^{\alpha} {h ( x ) d x} = \int_{\alpha}^{\beta} {- h ( x ) d x .}$$\displaystyle \int_0^\alpha h(x)\,dx+\int_\alpha^\beta h(x)\,dx=\int_0^\beta h(x)\,dx=0.$함수 $\displaystyle h ( x )$의 한 부정적분 함수를 $\displaystyle H ( x )$라 하자.$\displaystyle H ( x ) = \frac{{1}}{4} x^{4} - \frac{{1}}{3} ( \alpha + \beta ) x^{3} + \frac{{1}}{2} \alpha \beta x^{2} .$그러면 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_{0}^{\beta} {h ( x ) d x = \Biggl[ H ( x ) \Biggr]_{0}^{\beta}} = H ( \beta ) - H ( 0 ) = 0 .$따라서 $\displaystyle H ( \beta ) = H ( 0 ) = 0 .$$\displaystyle H ( \beta ) = \frac{{1}}{4} \beta^{4} - \frac{{1}}{3} ( \alpha + \beta ) \beta^{3} + \frac{{1}}{2} \alpha \beta^{3} = \frac{{1}}{12} \beta^{3} \left\{ 3 \beta - 4 ( \alpha + \beta ) + 6 \alpha \right\} = \frac{{1}}{12} \beta^{3} ( 2 \alpha - \beta ) = 0 .$여기서 $\displaystyle \frac{{1}}{12} \beta^{3} \ne 0$ 이므로 $\displaystyle \beta = 2 \alpha$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{{\beta}}{\alpha} = \frac{{2 \alpha}}{\alpha} = 2$이다.