자연계열 2번

$\displaystyle \begin{aligned}{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{AC}}} & = ( {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} - {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} ) \cdot ( {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} - {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} ) \\ & = {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} - {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} \cdot ( {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} + {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} ) + {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} \\ & = | {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} |^{2} - | {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} |^{2}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle k = | {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} |^{2} - | {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} |^{2}$이다.

(a) $\displaystyle k = 0$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}}$이므로 타원의 대칭성으로부터 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 $\displaystyle x$축 또는 $\displaystyle y$축 대칭이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 $\displaystyle x$축 또는 $\displaystyle y$축 대칭이고, 직선 $\displaystyle {{\mathrm{OA}}}$와 직선 $\displaystyle {{\mathrm{OB}}}$가 서로 수직이므로 직선 $\displaystyle {{\mathrm{OA}}}$와 직선 $\displaystyle {{\mathrm{OB}}}$의 기울기 중 하나는 $\displaystyle 1$이고 다른 하나는 $\displaystyle - 1$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 주어진 타원과 직선 $\displaystyle y = x$의 교점인 $\displaystyle \left( \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)$, $\displaystyle \left( - \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , - \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)$ 또는 주어진 타원과 직선 $\displaystyle y = - x$의 교점인 $\displaystyle \left( \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , - \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)$, $\displaystyle \left( - \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , \frac{{a b}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)$이다.

(b) $\displaystyle k$가 최대가 되려면 $\displaystyle | {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} |$의 길이가 최대이고, $\displaystyle | {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} |$의 길이가 최소가 되며 두 벡터가 수직이어야 한다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 장축에 있고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 단축에 있을 때, 조건을 만족하며 최댓값 $\displaystyle a^{2} - b^{2}$을 가진다. 같은 이유로 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 단축에 있고 점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 장축에 있을 때, 조건을 만족하며 최솟값은 $\displaystyle b^{2} - a^{2}$을 가진다.