자연계열 4번

$\displaystyle X = 1 + \sin x$, $\displaystyle Y = 1 + \cos x$라고 하자. $\displaystyle 0 < x < \frac{{\pi}}{2}$이므로 $\displaystyle 1 < X < 2 < e$이고 $\displaystyle Y$의 범위도 $\displaystyle 1 < Y < e$이다.주어진 부등식은 $\displaystyle X^{Y} > Y^{X}$가 된다.함수 $\displaystyle y = \ln x$가 증가함수이므로 이 부등식의 양변에 자연로그를 취하여도 부등호의 방향은 변하지 않는다.그러므로 주어진 부등식은$\displaystyle Y \ln X > X \ln Y$와 동치이다.

$\displaystyle X > 1$이고 $\displaystyle Y > 1$이므로 위 부등식을 $\displaystyle XY$로 나누어도 부등호의 방향은 변하지 않는다. 그러므로 주어진 부등식은$\displaystyle \frac{{\ln X}}{X} > \frac{{\ln Y}}{Y}$ (1)와 동치이다.이 부등식을 풀기 위하여 다음과 같은 함수를 생각하자.$\displaystyle f ( x ) = \frac{{\ln x}}{x} ( x > 1 )$이 때, 부등식 (1)은$\displaystyle f ( X ) > f ( Y )$ (2)와 같다.

$\displaystyle f ( x )$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{{1 - \ln x}}{x^{2}}$이다. $\displaystyle 1 < x < e$에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle 1 < x < e$에서 증가한다.그러므로 주어진 $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$의 범위에서($\displaystyle 1 < X < e$, $\displaystyle 1 < Y < e$) 부등식 (2)는 $\displaystyle X > Y$와 동치이다$\displaystyle 0 < x < \frac{{\pi}}{2}$에서 부등식 $\displaystyle X = 1 + \sin x > Y = 1 + \cos x$을 풀면 구하는 범위는 $\displaystyle \frac{{\pi}}{4} < x < \frac{{\pi}}{2}$이다.