자연계열 1번

1-1) 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 직선 $\displaystyle y = x$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{AB}} \cdot d$이다. $\displaystyle y = x$와 $\displaystyle \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$를 연립하여 풀면 $\displaystyle \left( x , y \right) = \left( - \frac{{2 \sqrt{5}}}{3} , - \frac{{2 \sqrt{5}}}{3} \right)$ 또는 $\displaystyle \left( x , y \right) = \left( \frac{{2 \sqrt{5}}}{3} , \frac{{2 \sqrt{5}}}{3} \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \frac{{4 \sqrt{10}}}{3}$이다.

그리고 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle 1$일 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이가 최대가 된다. 이 접선의 방정식을 구하기 위해 $\displaystyle y = x + k$를 $\displaystyle \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$에 대입하여 정리하면 $\displaystyle 9 x^{2} + 10 k x + 5 k^{2} - 20 = 0$이고, 이 이차방정식의 판별식을 $\displaystyle D$라 할 때 $\displaystyle D = ( 10 k )^{2} - 4 \cdot 9 \cdot ( 5 k^{2} - 20 ) = 0$에서 $\displaystyle k = \pm 3$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - \frac{5}{3} , \frac{4}{3} \right)$ 또는 $\displaystyle \left( \frac{5}{3} , - \frac{4}{3} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle d$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}$이므로 구하고자 하는 $\displaystyle S$의 최댓값은 $\displaystyle 2 \sqrt{5}$이다.

1-2) 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 직선 $\displaystyle y = x + b$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{AB}} \cdot d$이다. $\displaystyle y = x + b$를 $\displaystyle \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$에 대입하여 정리하면 $\displaystyle 9 x^{2} + 10 b x + 5 b^{2} - 20 = 0$이다. 이 이차방정식의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$로 놓으면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2} | \alpha - \beta |$이다. $\displaystyle | \alpha - \beta |$를 근과 계수와의 관계를 이용하여 계산하면$\displaystyle |\alpha-\beta|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{\left(\frac{-10b}9\right)^2-4\left(\frac{5b^2-20}9\right)}=\frac{4\sqrt5}9\sqrt{9-b^2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2} | \alpha - \beta | = \frac{{4 \sqrt{10}}}{9} \sqrt{9 - b^{2}}$이다. 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle b \le 0$라 하자. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - \frac{5}{3} , \frac{4}{3} \right)$일 때 $\displaystyle S$가 최대가 되고, 이때 점 $\displaystyle \mathrm{C}$와 직선 $\displaystyle y = x + b$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{3-b}{\sqrt{2}}$이다. 이를 이용하여 $\displaystyle S$를 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle S=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot d=\frac12\cdot\frac{4\sqrt{10}}9\sqrt{9-b^2}\cdot\frac{3-b}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt5}9\sqrt{(3-b)^3(3+b)}$

구간 $\displaystyle ( - 3 , 0 ]$에서 함수 $\displaystyle f ( x ) = ( 3 - x )^{3} ( 3 + x )$의 최댓값을 구하자.$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - 3 ( 3 - x )^{2} ( 3 + x ) + ( 3 - x )^{3} = ( 3 - x )^{2} ( - 6 - 4 x )$이므로 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{3}{2}$에서 극대가 되고 최대가 된다. 따라서 $\displaystyle S$의 최댓값은$\displaystyle S = \frac{{2 \sqrt{5}}}{9} \sqrt{\left( \frac{9}{2} \right)^{3} \frac{3}{2}} = \frac{{2 \sqrt{5}}}{9} \cdot \frac{{27 \sqrt{3}}}{4} = \frac{3}{2} \sqrt{15}$이다.