자연계열 4번

1-1) 조건 (1), (2)를 모두 만족시키는 $\displaystyle A$의 원소를 첫째항 $\displaystyle a$와 공차 $\displaystyle d$ $\displaystyle \left( d \ge 1 \right)$로 나타내면$\displaystyle a$, $\displaystyle a + d$, $\displaystyle a + 2 d$, $\displaystyle a + 3 d$, $\displaystyle a + 4 d$ ($\displaystyle a , d$는 정수)이므로$\displaystyle - 6 n \le a$, $\displaystyle a + 4 d \le 6 n$이다. 따라서 $\displaystyle d$는 $\displaystyle a = - 6 n$일 때 최댓값 $\displaystyle 3 n$을 가지므로 $\displaystyle 1 \le d \le 3 n$이고, $\displaystyle d = k$일 때 $\displaystyle a$는 $\displaystyle - 6 n \le a \le 6 n - 4 k$인 정수이므로 가능한 $\displaystyle a$의 개수는 $\displaystyle 12 n + 1 - 4 k$이다.

그러므로$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{3n}(12n+1-4k)=18n^2-3n$이다.

1-2) 조건 (1), (2)를 모두 만족시키는 $\displaystyle A$의 원소를$\displaystyle x_{1} = a$, $\displaystyle x_{2} = a + d$, $\displaystyle x_{3} = a + 2 d$, $\displaystyle x_{4} = a + 3 d$, $\displaystyle x_{5} = a + 4 d$ ($\displaystyle a , d$는 정수, $\displaystyle d \ge 1$)라 두자. 이제 조건 (1), (2)와 $\displaystyle 0 \in A$를 모두 만족시키는 집합 $\displaystyle A$의 개수를 $\displaystyle c_{n}$이라 하면$\displaystyle b_{n} = a_{n} - c_{n}$이다.

(i) $\displaystyle x_{1} = 0$이면 $\displaystyle 4 \le 4 d \le 6 n$이므로 가능한 $\displaystyle d$의 개수는 $\displaystyle n$이 짝수일 때 $\displaystyle \frac{3n}{2}$, $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle \frac{3n-1}{2}$

(ii) $\displaystyle x_{2} = 0$이면 $\displaystyle 3 \le 3 d \le 6 n$이므로 가능한 $\displaystyle d$의 개수는 $\displaystyle 2 n$

(iii) $\displaystyle x_{3} = 0$이면 $\displaystyle 2 \le 2 d \le 6 n$이므로 가능한 $\displaystyle d$의 개수는 $\displaystyle 3 n$

(iv) $\displaystyle x_{4} = 0$이면 대칭성에 의해 $\displaystyle x_{2} = 0$일 때와 같으므로 가능한 $\displaystyle d$의 개수는 $\displaystyle 2 n$

(v) $\displaystyle x_{5} = 0$이면 대칭성에 의해 $\displaystyle x_{1} = 0$일 때와 같으므로 가능한 $\displaystyle d$의 개수는 $\displaystyle n$이 짝수일 때 $\displaystyle \frac{3n}{2}$, $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle \frac{3n-1}{2}$

따라서$\displaystyle c_n=\begin{cases}10n&(n\text{은 짝수})\\10n-1&(n\text{은 홀수})\end{cases}$

이므로$\displaystyle b_n=\begin{cases}18n^2-13n&(n\text{은 짝수})\\18n^2-13n+1&(n\text{은 홀수})\end{cases}$이다.