자연계열 2번

1-1) $\displaystyle n$이하의 자연수 $\displaystyle x$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle x\cdot{}_{n}\mathrm C_x=x\cdot\frac{n!}{(n-x)!x!}=x\cdot\frac{n(n-1)!}{x\{(n-1)-(x-1)\}!(x-1)!}=n\cdot{}_{n-1}\mathrm C_{x-1}$

이제 $\displaystyle q=1-p$라고 하면 $\displaystyle \mathrm P(X=x)={}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}$ $\displaystyle (x=0,1,2,\cdots,n)$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(X)&=\sum_{x=0}^n x\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\left(=\sum_{x=1}^n x\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\right)\\&=\sum_{x=1}^n n\cdot{}_{n-1}\mathrm C_{x-1}p^xq^{n-x}\\&=np\sum_{x=1}^n{}_{n-1}\mathrm C_{x-1}p^{x-1}q^{(n-1)-(x-1)}\\&=np(p+q)^{n-1}=np\end{aligned}$

1-2) $\displaystyle 2 \le x \le n$인 자연수 $\displaystyle x$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}x(x-1)\cdot{}_{n}\mathrm C_x&=x(x-1)\cdot\frac{n!}{(n-x)!x!}\\&=n(n-1)\cdot\frac{(n-2)!}{\{(n-2)-(x-2)\}!(x-2)!}\\&=n(n-1)\cdot{}_{n-2}\mathrm C_{x-2}\end{aligned}$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(X^2)&=\sum_{x=0}^n x^2\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\\&=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)+x\}\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\\&=\sum_{x=0}^n x(x-1)\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}+\sum_{x=0}^n x\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\\&=n(n-1)p^2\sum_{x=2}^n{}_{n-2}\mathrm C_{x-2}p^{x-2}q^{(n-2)-(x-2)}+\sum_{x=0}^n x\cdot{}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}\\&=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}+np=n(n-1)p^2+np\end{aligned}$이므로$\displaystyle \mathrm{V} ( X ) = \mathrm{E} ( X^{2} ) - \left\{ \mathrm{E} ( X ) \right\}^{2} = n ( n - 1 ) p^{2} + n p - n^{2} p^{2} = n p ( 1 - p )$Comment. 위 계산은 $\displaystyle n\ge2$일 때 성립한다. $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle E(X^2)=E(X)=p$이고, 분산은 $\displaystyle p(1-p)$이다.이다.