자연계열 1번

그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하고, $\displaystyle \angle \mathrm{PO}^{\prime} \mathrm{H} = \alpha$ 라 하자. (단, $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime} ( 1 , 0 )$이다.)

이제 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=x$라 하자. 그러면 두 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAH}$와 $\displaystyle \mathrm{PHO}^{\prime}$으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=x\sin\theta=\sin\alpha$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}}=x\cos\theta+\cos\alpha$인데, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}} = 3$이므로$\displaystyle 1 = \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = ( 3 - x \cos \theta )^{2} + ( x \sin \theta )^{2}$이다. 그리고 이차방정식 $\displaystyle x^{2} - 6 \cos \theta x + 8 = 0$을 풀면$\displaystyle x = 3 \cos \theta \pm \sqrt{9 \cos^{2} \theta - 8}$이다. 그런데 직선은 원과 두 점에서 만나야 하므로 $\displaystyle \theta$의 값은 직선이 원에 접할 때의 각 보다 작아야 한다. 원의 반지름이 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}^{\prime}} = 3$이므로$\displaystyle \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} < \cos \theta < 1$이다. 따라서 $\displaystyle 9 \cos^{2} \theta - 8 > 0$이고, $\displaystyle \lim_{\theta \to 0^{+}} x = 2$이므로 $\displaystyle x = 3 \cos \theta - \sqrt{9 \cos^{2} \theta - 8}$이다. 그러므로$\displaystyle \lim_{\theta \to 0^{+}} {} \frac{{x - 2}}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \to 0^{+}} {} \frac{{( 3 \cos \theta - 2 ) - \sqrt{9 \cos^{2} \theta - 8}}}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \to 0^{+}} {} \frac{{12 ( 1 - \cos \theta )}}{\theta^{2} \left( ( 3 \cos \theta - 2 ) + \sqrt{9 \cos^{2} \theta - 8} \right)}$이고, $\displaystyle \lim_{\theta \to 0^{+}} \frac{{1 - \cos \theta}}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \to 0^{+}} \frac{{1 - \cos^{2} \theta}}{\theta^{2} ( 1 + \cos \theta )} = \lim_{\theta \to 0^{+}} \frac{{\sin^{2} \theta}}{\theta^{2} ( 1 + \cos \theta )} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \lim_{\theta \to 0^{+}} {} \frac{{12}}{\left( ( 3 \cos \theta - 2 ) + \sqrt{9 \cos^{2} \theta - 8} \right)} = 6$이므로$\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}\frac{x-2}{\theta^2}=3$이다.