자연계열 4번

(a) $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 2^{x} ( 1 + x \ln 2 )$이고 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) = 2^{x} ( 2 + x \ln 2 ) \ln 2$이다. 따라서 $\displaystyle x = - \frac{{1}}{\ln 2}$일 때 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$이고 $\displaystyle f \left( - \frac{1}{\ln 2} \right) = - \frac{1}{\ln 2} 2^{- \frac{1}{\ln 2}} = - \frac{1}{2^{{\log_{2} e}} \ln 2} = - \frac{1}{e \ln 2}$ 이므로, 함수 $\displaystyle f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

그런데 $\displaystyle 2 < e < 4$이므로 $\displaystyle 1 < \log_{2} e = \frac{1}{\ln 2} < 2$이고 $\displaystyle 0 < \frac{{1}}{e \ln 2} < 1$이다. 또한 $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} {} f ( x ) = 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} {} f ( x ) = \infty$이므로, 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

(b) 고정된 정수 $\displaystyle k$에 대해서 어떤 구간에 포함되는 모든 $\displaystyle x$가 $\displaystyle k \le f ( x ) < k + 1$을 만족시키면$\displaystyle g \circ f ( x ) = f ( x ) - [ f ( x ) ] = f ( x ) - k$이므로, 주어진 그 구간에서 $\displaystyle y = g \circ f ( x )$의 그래프는 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프를 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle - k$만큼 평행이동한 그래프와 같다. 따라서 함수 $\displaystyle y = g \circ f ( x )$의 그래프의 개형은 아래 그림과 같다.

(i) $\displaystyle x < 0$일 때, $\displaystyle g \circ f ( x ) = f ( x ) + 1$이므로 $\displaystyle x < 0$에서 $\displaystyle y = g \circ f ( x )$의 그래프와 $\displaystyle y = - x$의 그래프와의 교점의 개수는 1이다.

(ii) $\displaystyle x \ge 0$일 때, $\displaystyle f ( 0 ) = 0$, $\displaystyle f ( n ) = n 2^{n}$, $\displaystyle f^{\prime} ( 0 ) = 1$이므로 $\displaystyle x \ge 0$에서 $\displaystyle y = g \circ f ( x )$의 그래프와 $\displaystyle y = \frac{x}{n}$의 그래프와의 교점의 개수는 $\displaystyle f ( n ) - 1 = n 2^{n} - 1$ 이다.

따라서 $\displaystyle a_{n} = n 2^{n}$ 이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{a_{k+1}^2}{a_ka_{k+2}}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}=\sum_{k=1}^n\left(1+\frac1{k(k+2)}\right)=n+\frac12\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)=\frac34+n-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$이다.