자연계열 2번

$\displaystyle \mathrm{A} ( - 3 , - 3 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{B} ( 3 , - 3 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{C} ( 3 , 3 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{D} ( - 3 , 3 , 0 )$이고, 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{V}$의 $\displaystyle z$좌표가 $\displaystyle 3$이 되도록 좌표축을 정하자. 그러면 $\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 )$이고, 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = x$, $\displaystyle z = 0$이므로 $\displaystyle {\mathrm{V}} ( 3 x , 3 x , 3 )$ ($\displaystyle | x | \le 1$)로 나타낼 수 있다. 한편, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( x , x - 2 , 1 )$, $\displaystyle {\mathrm{Q}} ( x + 2 , x , 1 )$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2x^2+1$이다. 그리고 $\displaystyle \left| {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} \right| = \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 5}$, $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\sqrt{2x^2+4x+5}$이므로 내적의 정의에 의해$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{POQ})=\frac{2x^2+1}{\sqrt{2x^2-4x+5}\sqrt{2x^2+4x+5}}$이고, $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{POQ} ) > 0$ 이다.이제 $\displaystyle t = 4 x^{4} + 4 x^{2} + 25$라 하면 $\displaystyle | x | \le 1$이므로 $\displaystyle 25 \le t \le 33$이고$\displaystyle \left( \frac{{2 x^{2} + 1}}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 5} \sqrt{2 x^{2} + 4 x + 5}} \right)^{2} = \frac{{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1}}{4 x^{4} + 4 x^{2} + 25} = 1 - \frac{24}{t}$이다. 따라서 $\displaystyle \left( \frac{{2 x^{2} + 1}}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x + 5} \sqrt{2 x^{2} + 4 x + 5}} \right)^{2}$의 최솟값이 $\displaystyle \frac{1}{25}$이므로 $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{POQ} )$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{5}$이다.