자연계열 3번

(a) A가 공을 채워 넣은 후 주머니에 빨간 공이 2개일 확률은, 흰 공을 꺼내고 빨간 공을 넣어야 하므로 $\displaystyle \frac{p}{2}$이고, 흰 공과 빨간 공이 각각 1개일 확률은, 빨간 공을 꺼내고 빨간 공을 넣거나 흰 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 $\displaystyle \frac p2+\frac{1-p}2=\frac12$이며, 흰 공이 2개일 확률은 빨간 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 $\displaystyle \frac{1-p}2$이다.

B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 흰 공과 빨간 공이 각각 1개인 경우는, A가 공을 채워 넣은 후 주머니에 있는 흰 공의 개수 $\displaystyle n$에 따라 다음의 3가지 경우가 있다.

(i) $\displaystyle n = 0$인 경우: 흰 공을 넣어야 하므로 확률은 $\displaystyle \frac{p}{2} \cdot ( 1 - p )$이다.

(ii) $\displaystyle n = 1$일 경우: 빨간 공을 꺼내고 빨간 공을 넣거나, 흰 공을 꺼내고 흰 공을 넣어야 하므로 확률은 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot \left\{ \frac{{1}}{2} \cdot p + \frac{{1}}{2} \cdot ( 1 - p ) \right\} = \frac{{1}}{4}$이다.

(iii) $\displaystyle n = 2$일 경우: 빨간 공을 넣어야 하므로 확률은 $\displaystyle \frac{1-p}2\cdot p$이다.

따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac{1}{4} + p ( 1 - p )$이다.

(b) 같은 방법으로 B가 공을 채워 넣은 후 주머니에 빨간 공이 2개일 확률은 $\displaystyle \frac{p}{2} \cdot p + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot p = \frac{p}{4} + \frac{p^{2}}{2}$이다.

따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac12\cdot\left\{\frac14+p(1-p)\right\}+\frac p4+\frac{p^2}2=\frac18+\frac{3p}4$이다.