자연계열 1번

(a) $\displaystyle x=\tan\theta\ \left(-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\right)$라 놓으면 $\displaystyle \frac{{d x}}{d \theta} = \sec^{2} \theta = \tan^{2} \theta + 1$이고, $\displaystyle x = 0$일 때 $\displaystyle \theta = 0 , x = 1$일 때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$이므로$\displaystyle \int_{0}^{1} {\frac{{1}}{x^{2} + 1} d x} = \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {\frac{{\sec^{2} \theta}}{\tan^{2} \theta + 1} d \theta} = \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {1 d \theta} = \frac{{\pi}}{4}$이다.

(b) 함수 $\displaystyle y = F ( x )$의 그래프의 개형이 그림 1과 같으므로, $\displaystyle \int_{0}^{2} {f ( t ) d t}$의 값은 그림 2의 어두운 부분의 넓이와 같다.따라서$\displaystyle \int_{0}^{2} {f ( t ) d t} = \int_{- \sqrt{3}}^{- 1} {} ( x^{3} - 3 x ) d x + 2 + \int_{0}^{1} {\left( 2 - \frac{{4 x^{2}}}{x^{2} + 1} \right) d x}$이다. 한편$\displaystyle \int_{- \sqrt{3}}^{- 1} {} ( x^{3} - 3 x ) d x= 1$ 이고, $\displaystyle \int_{0}^{1} {} \left( 2 - \frac{{4 x^{2}}}{x^{2} + 1} \right) d x = \int_{0}^{1} {\left( \frac{{4}}{x^{2} + 1} - 2 \right)} d x = \pi - 2$이므로,$\displaystyle \int_{0}^{2} {f ( t ) d t} = \pi + 1$이다.