자연계열 2번

(a) 네 점 $\displaystyle \mathrm{B} , \mathrm{C} , \mathrm{D} , \mathrm{E}$가 $\displaystyle \mathrm{B} ( - 1 , - 1 , 0 ) , \mathrm{C} ( 1 , - 1 , 0 ) , \mathrm{D} ( 1 , 1 , 0 ) , \mathrm{E} ( - 1 , 1 , 0 )$이 되도록 좌표축을 정하자. 이 때, $\displaystyle \mathrm{A} ( 0 , 0 , a ) ( a > 0 )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( - 1 )^{2} + ( - 1 )^{2} + a^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{A} ( 0 , 0 , \sqrt{2} )$이고, $\displaystyle \mathrm{F} ( 0 , 0 , - \sqrt{2} )$이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} = ( - 1 , - 1 , - \sqrt{2} )$이고, $\displaystyle \mathrm{G}_1\left(0,-\frac23,\frac{\sqrt2}3\right),\mathrm{G}_2\left(0,\frac23,-\frac{\sqrt2}3\right)$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{G}_1\mathrm{G}_2}=\overrightarrow{O\mathrm{G}_2}-\overrightarrow{O\mathrm{G}_1}=\left(0,\frac43,-\frac{2\sqrt2}3\right)$이다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{G}_1\mathrm{G}_2}=(-1,-1,-\sqrt2)\cdot\left(0,\frac43,-\frac{2\sqrt2}3\right)=0$이다.

(b) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}} = ( 1 , - 1 , - \sqrt{2} ) \cdot \left( 0 , \frac{4}{3} , - \frac{{2 \sqrt{2}}}{3} \right) = 0$이므로, 평면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}}$는 서로 수직이다. 마찬가지로 평면 $\displaystyle \mathrm{DEF}$도 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}}$에 수직이다. 따라서 평면 $\displaystyle \alpha$는 평면 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 평면 $\displaystyle \mathrm{DEF}$에 각각 평행하다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}}$와 평면 $\displaystyle \alpha$가 서로 수직이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{G}_{1} , \mathrm{G}_{2}$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 일치한다. 여섯 점 $\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{B} , \mathrm{C} , \mathrm{D} , \mathrm{E} , \mathrm{F}$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} , \mathrm{B}^{\prime} , \mathrm{C}^{\prime} , \mathrm{D}^{\prime} , \mathrm{E}^{\prime} , \mathrm{F}^{\prime}$이라 하면, 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm{E}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{F}^{\prime}$은 한 변의 길이가 $\displaystyle 2$이고 무게중심이 일치하는 정삼각형이다. 정사각형 $\displaystyle \mathrm{BCDE}$의 정사영 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime}$은 마주보는 두 쌍의 변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$은 정육각형이고 이것이 정팔면체의 그림자이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{G}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} = 2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{G}} = \frac{{2 \sqrt{3}}}{3}$이고, 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{GA}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{3}$이다. 그러므로 구하는 그림자의 넓이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이다.