자연계열 4번

그림과 같이 좌표평면에서 연립부등식 $\displaystyle y \le \frac{{N}}{2^{x}} , y \le 2^{x} , y \ge 1$의 영역을 $\displaystyle A$라 하자. $\displaystyle 1 \le n \le N$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle y = \frac{{n}}{2^{x}}$과 $\displaystyle y \le 2^{x}$을 모두 만족시키는 점 $\displaystyle ( x , y )$ ($\displaystyle x , y$는 자연수)는 영역 $\displaystyle A$에 속하고, $\displaystyle m\ne n$이면 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{{m}}{2^{x}} , y = \frac{{n}}{2^{x}}$은 만나지 않는다. 한편, 영역 $\displaystyle A$에 있는 점 $\displaystyle ( p , q )$ ($\displaystyle p , q$는 자연수)에 대하여 $\displaystyle r = q 2^{p}$라 두면 $\displaystyle r \le N$이고 점 $\displaystyle ( p , q )$는 곡선 $\displaystyle y = \frac{{r}}{2^{x}}$에 있으며 $\displaystyle q \le 2^{p}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$는 영역 $\displaystyle A$에 포함되는 점 $\displaystyle ( x , y )$ ($\displaystyle x , y$는 자연수)의 개수와 같으므로 그 점의 개수를 구하면 된다.$\displaystyle x \ge 2018$이면 $\displaystyle y \le \frac{{N}}{2^{x}} \le \frac{{2^{2018} - 1}}{2^{2018}} < 1$이므로, $\displaystyle y \le \frac{{N}}{2^{x}}$을 만족시키는 두 자연수 $\displaystyle x , y$의 순서쌍 $\displaystyle ( x , y )$가 존재하지 않는다.또한 $\displaystyle \frac{{N}}{2^{x}}= 2^{x}$이면 $\displaystyle 2^{2017}<2^{2x}=N<2^{2018}$이므로, $\displaystyle 1008 < x < 1009$이다. 따라서 두 곡선 $\displaystyle y = 2^{x} , y = \frac{{N}}{2^{x}}$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 1008$보다 크고 $\displaystyle 1009$보다 작다. 따라서 자연수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 1 \le x \le 1008$이면 $\displaystyle 1 \le y \le 2^{x}$인 자연수 $\displaystyle y$의 개수는 $\displaystyle 2^{x}$이고, $\displaystyle 1009 \le x \le 2017$이면 $\displaystyle 1\le y\le\frac{N}{2^x}=2^{2018-x}-2^{-x}$인 자연수 $\displaystyle y$의 개수는 $\displaystyle 2^{2018-x}-1$이다. 그러므로

$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k=\sum_{k=1}^{1008}2^k+\sum_{k=1009}^{2017}(2^{2018-k}-1)=\sum_{k=1}^{1008}2^k+\sum_{k=1}^{1009}(2^k-1)=3\cdot2^{1009}-1013$이다.