자연계열 3번

주사위 100개를 동시에 던질 때, $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle 2$의 눈이 나오는 주사위의 개수가 홀수일 확률 $\displaystyle p$와 홀수가 아닐 확률 $\displaystyle 1 - p$는 다음과 같다.$\displaystyle p=\sum_{k=1}^{50}{}_{100}\mathrm{C}_{2k-1}\left(\frac13\right)^{2k-1}\left(\frac23\right)^{101-2k},\quad1-p=\sum_{k=0}^{50}{}_{100}\mathrm{C}_{2k}\left(\frac13\right)^{2k}\left(\frac23\right)^{100-2k}$따라서$\displaystyle (1-p)-p=\sum_{k=0}^{100}(-1)^k{}_{100}\mathrm{C}_k\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{100-k}=\sum_{k=0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_k\left(-\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{100-k}$이므로 이항정리에 의해$\displaystyle 1 - 2 p = \sum_{k = 0}^{100}{}_{100}\mathrm{C}_{k} \left( - \frac{{1}}{3} \right)^{k} \left( \frac{{2}}{3} \right)^{100 - k} = \left( - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right)^{100} = \frac{{1}}{3^{100}}$이다. 그러므로 $\displaystyle p=\frac12-\frac1{2\cdot3^{100}}$이고, $\displaystyle \mathrm{E}(X)=ap+b(1-p)=\frac{a+b}2-\frac{a-b}{2\cdot3^{100}}$이다.