자연계열 1번

$\displaystyle n = 2 m$ $\displaystyle ( m$은 자연수)이면,$\displaystyle \frac{{n^{n} \cdot n !}}{( 2 n ) !} = \frac{{n}}{2 n} \cdot \frac{{n}}{2 n - 1} \cdot \cdots \cdot \frac{{n}}{2 n - ( m - 1 )} \cdot \frac{{n}}{n + 1 + ( m - 1 )} \cdot \cdots \cdot \frac{{n}}{n + 2} \cdot \frac{{n}}{n + 1}$이다. 이제$\displaystyle \left. \frac{{n}}{2 n} \cdot \frac{{n}}{n + 1} \leq \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)^{2} , \frac{{n}}{2 n - 1} \cdot \frac{{n}}{n + 2} \leq \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)^{2} , \cdots , \frac{{n}}{2 n - ( m - 1 )} \cdot \frac{{n}}{n + 1 + ( m - 1 )} \leq \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)^{2} \right.$가 성립함을 보이자. $\displaystyle k = 0 , 1 , \cdots , m - 1$에 대하여 $\displaystyle n - 1 - k \ge 2 m - 1 - ( m - 1 ) = m \ge 0$이므로$\displaystyle 2 n^{2} + 2 n + k ( n - 1 - k ) \ge 2 n^{2}$이다. 즉 $\displaystyle k = 0 , 1 , \cdots , m - 1$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \frac{n}{2n-k}\cdot\frac{n}{n+1+k}=\frac{n^2}{2n^2+2n+nk-k-k^2}\le\frac{n^2}{2n^2}\le\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2$따라서$\displaystyle \frac{n^n\cdot n!}{(2n)!}\le\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{2m}=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n$이다.

그리고 $\displaystyle n = 1$이면 위 부등식은 성립한다. $\displaystyle n = 2 m - 1$($\displaystyle m$은 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수)이면,$\displaystyle \frac{{n^{n} \cdot n !}}{( 2 n ) !} = \frac{{n}}{2 n} \cdot \frac{{n}}{2 n - 1} \cdot \cdots \cdot \frac{{n}}{2 n - ( m - 2 )} \cdot \frac{{n}}{2 n - ( m - 1 )} \cdot \frac{{n}}{n + 1 + ( m - 2 )} \cdot \cdots \cdot \frac{{n}}{n + 2} \cdot \frac{{n}}{n + 1}$이고, $\displaystyle k = 0 , 1 , \cdots , m - 2$에 대하여 $\displaystyle n - 1 - k \ge 2 m - 1 - 1 - ( m - 2 ) = m \ge 0$이므로$\displaystyle \frac{n}{2n-k}\cdot\frac{n}{n+1+k}=\frac{n^2}{2n^2+2n+nk-k-k^2}\le\frac{n^2}{2n^2}\le\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2$이다. 또한$\displaystyle \frac{n}{2n-(m-1)}=\frac{2m-1}{3m-1}=\frac23-\frac13\cdot\frac1{3m-1}\le\frac23\le\frac1{\sqrt2}$이므로,$\displaystyle \frac{n^n\cdot n!}{(2n)!}\le\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{2(m-1)}\cdot\frac1{\sqrt2}=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n$이다.