자연계열 3번

(a) $\displaystyle b - a = 3$인 순서쌍 $\displaystyle ( a , b )$는 $\displaystyle ( 1 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 6 )$으로 3개이며, 그 사건을 각각 $\displaystyle A_{1} , A_{2} , A_{3}$라 하자. $\displaystyle n ( A )$를 사건 $\displaystyle A$가 일어나는 경우의 수라 할 때, $\displaystyle b - a = 3$인 경우의 수는 $\displaystyle n ( A_{1} ) + n ( A_{2} ) + n ( A_{3} )$이다. $\displaystyle ( a , b ) = ( 1 , 4 )$인 경우에, 모든 주사위의 눈이 $\displaystyle 1$씩 더 나온다면 $\displaystyle ( a , b ) = ( 2 , 5 )$인 경우가 된다. 즉, $\displaystyle n ( A_{1} ) = n ( A_{2} )$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle n ( A_{2} ) = n ( A_{3} )$이다. 따라서 $\displaystyle b - a = 3$인 경우의 수는 $\displaystyle 3\cdot n(A_1)\qquad\cdots\quad$①이다. $\displaystyle n ( A_{1} )$를 구하기 위해 다음의 사건을 정의하자.

• $\displaystyle B$ = 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 나온 모든 눈이 $\displaystyle 1$ 이상 $\displaystyle 4$ 이하인 사건

• $\displaystyle C$ = 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 나온 모든 눈이 $\displaystyle 2$ 이상 $\displaystyle 4$ 이하인 사건

• $\displaystyle D$ = 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 나온 모든 눈이 $\displaystyle 1$ 이상 $\displaystyle 3$ 이하인 사건

이때 $\displaystyle A_1=B-(C\cup D),\ C\cup D\subset B$이므로 $\displaystyle n ( A_{1} ) = n ( B ) - n ( C \cup D )$이다.

또한 $\displaystyle n ( B ) = 4^{k} , n ( C ) = 3^{k} , n ( D ) = 3^{k}$이고 $\displaystyle C\cap D$는 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 나온 모든 눈이 $\displaystyle 2$ 또는 $\displaystyle 3$인 사건이므로 $\displaystyle n ( C \cap D ) = 2^{k}$이다. 따라서 $\displaystyle n ( C \cup D ) = n ( C ) + n ( D ) - n ( C \cap D ) = 3^{k} + 3^{k} - 2^{k}$이므로 $\displaystyle n ( A_{1} ) = 4^{k} - 2 \cdot 3^{k} + 2^{k}$이다.

그러므로 식 ①에 대입하면 $\displaystyle b-a=3$인 경우의 수는$\displaystyle 3\cdot(4^k-2\cdot3^k+2^k)$이다.

(b) $\displaystyle b - a = 3$인 사건을 $\displaystyle E$, 처음 던진 주사위의 눈이 $\displaystyle 5$가 나온 사건을 $\displaystyle F$라 하자. $\displaystyle \mathrm P( E \cap F ) = \frac{{n ( E \cap F )}}{6^{k}}$이고 $\displaystyle \mathrm P( F ) = \frac{1}{6}$이므로, 처음 던진 주사위의 눈이 $\displaystyle 5$가 나왔을 때, $\displaystyle b - a = 3$일 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(E\mid F)=\frac{\mathrm{P}(E\cap F)}{\mathrm{P}(F)}=\frac{n(E\cap F)}{6^{k-1}}$이다. 처음 던진 주사위의 눈이 $\displaystyle 5$가 나왔을 때, $\displaystyle b - a = 3$인 순서쌍 $\displaystyle ( a , b )$는 $\displaystyle ( 2 , 5 )$ 또는 $\displaystyle ( 3 , 6 )$이어야 한다. 즉, 사건 $\displaystyle E \cap F$가 일어나는 경우는 첫 번째 주사위를 던진 이후에 주사위를 $\displaystyle k - 1$번 던져 나온 눈의 최솟값과 최댓값의 순서쌍이 $\displaystyle (2,2),\ (2,3),\ (2,4),\ (2,5),\ (3,6)$일 때이다. 이 때, 각각의 사건을 $\displaystyle G_{1} , G_{2} , G_{3} , G_{4} , G_{5}$라 하자. 그러면 $\displaystyle n ( E \cap F ) = n ( G_{1} ) + n ( G_{2} ) + n ( G_{3} ) + n ( G_{4} ) + n ( G_{5} )$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(E\mid F)=\frac{n(G_1)+n(G_2)+n(G_3)+n(G_4)+n(G_5)}{6^{k-1}}$이다. $\displaystyle G_{1}$은 $\displaystyle k - 1$번 던져 나온 모든 주사위의 눈이 $\displaystyle 2$가 나오는 사건이므로 $\displaystyle n ( G_{1} ) = 1$이다. $\displaystyle n ( G_{2} ) , \cdots , n ( G_{5} )$를 문항 (a)와 같은 방법으로 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}n(G_2)&=2^{k-1}-2\\n(G_3)&=3^{k-1}-2\cdot2^{k-1}+1\\n(G_4)=n(G_5)&=4^{k-1}-2\cdot3^{k-1}+2^{k-1}\end{aligned}$이다. 따라서 처음 던진 주사위의 눈이 $\displaystyle 5$가 나왔을 때, $\displaystyle b-a=3$일 확률은$\displaystyle \frac{2\cdot4^{k-1}-3^k+2^{k-1}}{6^{k-1}}$이다.