자연계열 2번

(a) $\displaystyle x\ne-1$이므로$\displaystyle 1 + \sum_{k = 1}^{2 n - 1} ( - x )^{k} = 1 + \frac{{- x ( 1 - ( - x )^{2 n - 1} )}}{1 - ( - x )} = \frac{{1 + x - x - x^{2 n}}}{1 + x} = \frac{{1 - x^{2 n}}}{1 + x}$이고$\displaystyle 1 + \sum_{k = 1}^{2 n} ( - x )^{k} = 1 + \frac{{- x ( 1 - ( - x )^{2 n} )}}{1 - ( - x )} = \frac{{1 + x - x + x^{2 n + 1}}}{1 + x} = \frac{{1 + x^{2 n + 1}}}{1 + x}$이다. 한편 $\displaystyle 0 \le x \le 1$이면, $\displaystyle 1-x^{2n}\le1\le1+x^{2n+1}$이고 $\displaystyle 1 + x > 0$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \frac{1-x^{2n}}{1+x}\le\frac1{1+x}\le\frac{1+x^{2n+1}}{1+x}$따라서$\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{2n-1}(-x)^k\le\frac1{1+x}\le1+\sum_{k=1}^{2n}(-x)^k$이다.

(b) $\displaystyle a_{n}$은 적분을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle a_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{( - 1 )^{k + 1}}}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n} \int_{0}^{1} {} ( - x )^{k - 1} d x = \int_{0}^{1} {} \left( 1 + \sum_{k = 1}^{2 n - 1} ( - x )^{k} \right) d x$따라서 문항 (a)의 첫 번째 부등식에 의해$\displaystyle a_{n} \leq \int_{0}^{1} {\frac{1}{x + 1} d x} = \ln 2$이다. 또한$\displaystyle \begin{aligned}a_{n} &= \int_{0}^{1} {} \left( 1 + \sum_{k = 1}^{2 n - 1} ( - x )^{k} \right) d x \\ &= \int_{0}^{1} {} \left( 1 + \sum_{k = 1}^{2 n} ( - x )^{k} \right) d x - \int_{0}^{1} {x^{2 n} d x} \\ &= \int_{0}^{1} {} \left( 1 + \sum_{k = 1}^{2 n} ( - x )^{k} \right) d x - \frac{{1}}{2 n + 1}\end{aligned}$이므로, 문항 (a)의 두 번째 부등식에 의해$\displaystyle a_{n} \geq \int_{0}^{1} {\frac{{1}}{x + 1} d x} - \frac{{1}}{2 n + 1} = \ln 2 - \frac{{1}}{2 n + 1}$이다. 따라서$\displaystyle \ln2-\frac1{2n+1}\le a_n\le\ln2$이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\ln2$이다.